2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数 学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 主题1. a为正实数，i为虚数单位，A．2 B

C

D．1

主题2. 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N ðIM ，则M N A．M B．N C．I D．

a i

2，则a i

主题3. 已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AB的中点到y轴的距离为 A．

则线段AF BF=3，

3

4

B．1

5 47D．

4

C．

主题4. △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c

，asinAsinB bcos2A ,，则A

． B

． C

D

主题5. 从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和 为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=

b

a

1 81B．

42C．

5

A．

D．

1 2

主题6. 执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是 A．8 B．5 C．3 D．2

（主题7. 设sin7 91B．

91C．

97D．

9

A．

1+ ）=，则sin2 43

主题8. 如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD 底面ABCD，

则下列结论中不正确的是 ．．．A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

21 x,x 1

主题9. 设函数f(x) ，则满足f(x) 2的x的取值范围是

1 log2x,x 1

A．[ 1，2]

B．[0，2] C．[1，+ ] D．[0，+ ]

主题10. 若a，b，c均为单位向量，且a b 0，(a c) (b c) 0，则|a b c|的最大值为 A．2 1 B．1 C．2 D．2

主题11. 函数f(x)的定义域为R，f( 1) 2，对任意x R，f (x) 2，则f(x) 2x 4的解集为 A．（ 1，1） B．（ 1，+ ） C．（ ， 1） D．（ ，+ ）

主题12. 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=， ASC BSC 30，则棱锥S—ABC的体积为 A．

B．23 C．3

D．1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

x2y2

主题13. 已知点（2，3）在双曲线C：2 2 1(a 0,b 0)上，C的焦距为4，则它的离心率为 ．

ab

主题14. 调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出

0.254x 0.321．由回归直线方程可知，家庭年收入每y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y

增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．

主题15. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯 视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ． 主题16. 已知函数f(x)=Atan（ x+ ）（ 0,| |

2

），y=f(x)的部分图像如下图，则f(

24

) ．

难度 易 正确答案B

提示一 本题考查复数和模的运算，考查学生基本计算能力，清晰分母提示二 首先化简复数，然后利用模的运算得到含有a的等式，进而求提示三

实数化是解题的前提. 解.

数， a a i ai 1

2,即a2 3，又 a为正实

i1

提示四

提示五 难度 易 正确答案A

提示一 本题考查韦恩图的应用，考查学生数形结合能力，清晰集合的概念是解题的前提. 提示二 根据N ðIM 画出韦恩图，然后明确M N. 提示三 作出满足条件的韦恩（Venn）图，易知M N M 提示四 提示五 难度 中 正确答案C

提示一 本题考查抛物线定义的应用，考查学生的等价转换能力， 利用转化思想得到AM BN AF BF是解题的关键. 提示二 利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点C的横坐标. 提示三如图，由抛物线的定义知，AM BN AF

3315

BF 3,CD ,所以中点C的横坐标为 .

2244

提示四

提示五 难度 易 正确答案D

提示一 此题考查解三角形，考查学生目标意识能力，清晰正弦定理是解题的前提.

提示二 利用正弦定理将已知表达式中的边转化为角是解题的关键.

提示三 asinAsinB bcos2A ,由正弦定理可得：

sin2AsinB

sinBcos2AA, sinBA,

即

b

a

提示四 提示五 难度 中 正确答案B

提示一 此题考查古典概率，考查学生识别事件的能力，清晰事件的计算公式是解题的前提. 提示二 准确计算出P(A)、P(AB)是解题的关键.

22C2 C324C21P(AB)1

提示三 P(A) , ,P(AB) P(BA) . 22

C510C510P(A)4

提示四

提示五 难度 中 正确答案C

提示一 本题考查流程图，考查学生的识图能力.清晰框图的流程过程是解题的前提. 提示二 抓住流程图的限制条件k n是解题的关键. 提示三 初始值p 1,s 0,t 1,k 1,循环开始，第一次:

p 1,s 1,t 1,k 2,第二次:p 2,s 1,t 2,k 3,第三

次:p 3,s 2,t 3,k 4,此时，k n不成立，跳出循环， 输出p 3.

提示四 提示五 难度 中 正确答案A

提示一 此题考查三角函数求值，考查学生划归能力，清晰两角和的公式和二倍角公式是解题的前提. 提示二 利用平方技巧过渡是解题的关键. 提示三 由sin(

11 )

,得

,即sin cos ,两边平方，得 432233

1 sin2

27, sin2 . 99

提示四

提示五 难度 中 正确答案D

提示一 此题考查立体几何的位置关系和角的判断，考查学生的空间形象能力.清晰线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理和线面角、异面直线所成的角的定义是解题的前提. 提示二 采用逐一判断的方法进行分析.

提示三 SD 面ABCD,AC 面ABCD, SD AC,又 ABCD为正方形，

AC BD,又SD BD D, AC 面SBD,AC SB.故A对； AB∥CD,CD 面CDS,AB在面CDS外， AB∥面SCD,故B 对；

设AC BD O,由上面的分析知， ASO与 CSO分别是SA与面SBD,SC与面SBD所成的角，易知 ASO与 CSO相等，故C对；选D. 提示四 提示五 难度 中 正确答案D

提示一 此题考查分段函数的性质，考查学生转化能力，清晰分段函数的性质是解题的前提. 提示二 判断函数在定义域上的单调性是解题的关键.

提示三 易知，f(x)在R上是减函数，由21 x 2,得x 0,所以x的取值范围是 0，+ . 提示四 提示五 难度 难 正确答案B

提示一 此题考查向量模的最值.考查学生运算能力.清晰数量积的运算是解题的前提. 提示二 利用将|a b c|平方的技巧进行转化是解题的关键.

提示三 （ a c) (b c) a b ( a b) c c2 1 ( a b)

c 0, ( a b) c 1;

a b c2 ( a b)2 2( a b ) c c2 a2 b 2 c2 2( a b ) c 3 2( a b )

c 3 2 1.

提示四 提示五 难度 中 正确答案B

提示一 此题考查不等式的解法，考查学生构造能力，通过f(x) 2x 4构造函数h(x) f(x) (2x 4)是解题的前提. 提示二 利用求导判断函数h(x) f(x) (2x 4)单调性是解题的关键.

提示三设h(x) f(x) (2x 4),则h'(x) f'

(x) 2 0,故h(x)在R上单调递增，又

h( 1) f( 1) 2 0所以当x 1时，h(x) 0，即f(x) 2x 4.

提示四 提示五 难度 难 正确答案C

提示一 此题考查棱锥的体积，考查学生的画图能力和空间想象能力.利用题设条件准确画出图形是解题的前提. 提示二 明确三棱锥的底面面积和高是解题的关键. S 提示三 如图，过AB作与直径SC垂直的球的截面，交SC于点D，在Rt SAC中

S cA

SsC 同 理BD0 故 AABD=

为正三

A形.S11 ABD

260 =4VS ABC 3 4 4

，角s

提示四 提示五 难度 易

正确答案 2

提示一 此题考查双曲线的离心率，考查学生基本知识掌握情况，清晰双曲线的几何性质是解题的前提. 提示二 利用点在曲线上和焦距得到方程组是解题的关键. 提示三

49c22

a 1 1e 2. a b 4与联立，求得，所以

a2b2a

提示四

提示五 难度 易

正确答案0.254

提示一 此题考查回归方程，考查学生的基础知识掌握情况，清晰归回方程的含义是解题的前提.

0.254x 0.321求解“年饮食支出平均增加量”是解题的关键. 提示二 利用y

的值增加0.254，提示三 家庭收入每增加1万元，对应的回归直线方程中的x增加1，相应的y即年饮食支出平均增加0.254

万元.

提示四 提示五 难度 中 正确答案

提示一 此题考查几何体的三视图，考查学生的分析解决问题能力和空间形象能力，清晰三视图的观察方法是解题的前提. 提示二 根据俯视图和左视图得到几何体的性质是解题的关键

. 提示三如图，设底面边长为a，则侧棱长也为a，故a 8,a 2.左视图与矩形DCC1D1相同

，

3

1

A1

D2

a ，B1

S四边形DCC1D1

提示四 提示五 难度 中

a C

A

D

B

提示一 此题考查函数解析式，考查学生视图能力，清晰是解题的前提.

A、 、 的含义

（提示二 利用函数图象得到周期，利用点

式，然后求f(

3

，0）代入解析式确定 ，利用（0,1）代入解析式确定A，进而明确函数的解析8

24

).

T3 3 3 =-， T=， =2, f(x) Atan(2x ),将（，0）代入得，Atan( 2 +）=即0288288

提示三 由图知，

tan(

3

) 0,又 ， =. f(x) Asin(2x ).又 4244

f(0) 1, Atan

4

1, A 1. f(

24

) tan(2

) tan 2443

提示四

提示五

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 主题17．（本小题满分12分）

已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列{an}的通项公式；

a

（II）求数列 nn的前n项和． 1 2

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ； （II）求二面角Q—BP—C的余弦值．

1

PD． 2

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）

进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．

（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；

（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 附：样本数据x1,x2, ,xn的的样本方差s2

1

[(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2]，其中为样本平均数． n

如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D． （I）设e

1

，求BC与AD的比值； 2

（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

主题21. 已知函数f(x) lnx ax2 (2 a)x． （I）讨论f(x)的单调性； （II）设a 0，证明：当0 x

111

时，f( x) f( x)； aaa

（III）若函数y f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f （x0）＜0．

主题22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED． （I）证明：CD//AB；

（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F 四点共圆．

难度 中

正确答案（I）an 2 n；（II）Sn

n2

n 1

.

提示一 本题考查等差数列的通项公式和递推数列数列求和，考查学生应用方程思想的解题能力和划归能力.清晰等差数列的基本量思想以及错位相减法是解题的前提.

提示二 (1)中，利用等差数列的通项公式得到两个方程，解得a1、d；（2）中通过观察数列的通项公式的结构特点，采用错

a 位相减法求 nn的前n项和. 1 2

提示三 （I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得

解得

a1 d 0,

2a1 12d 10,

a1 1,

d 1.

故数列{an}的通项公式为an 2 n. 5分 （II）设数列anana2

的前n项和为SS a ,故S1 1， ，即nn1

22n 12n 1

Sna1a2a n. 2242n所以，当n 1时， Sna aaa a

a1 21 nn 1n 1 n2222n

1112 n

1 ( n 1) n

2422

12 n

1 (1 n 1) n

22n =n.

2

n

所以Sn n 1.

2an的前n项和S . 12分 综上，数列{nnn2 12n 1

提示四

提示五 难度 中

正确答案（I）详见提示; （II

） 提示一 此题考查面面垂直的证明和二面角的求解.考查学生的空间想象能力和利用空间向量处理问题的能力.清晰面面垂直的判定定理和利用向量法求解二面角的步骤是解题的前提.

提示二 (1)利用数量积为0，证明PQ⊥DQ，PQ⊥DC，然后利用线面垂直证明面面垂直；（2）确定两个半平面的法向量，利用向量夹角公式求解二面角的余弦值.

提示三 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz. （I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.

则DQ (1,1,0),DC (0,0,1),PQ (1, 1,0).

所以PQ DQ 0,PQ DC 0. 即PQ DQ,PQ DC,

（II）依题意有B（1，0，1），CB ,0),1((12B,P.)1

故PQ⊥平面DCQ.

又PQ 平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. 6分

n CB 0, x 0,

设n (x,y,z)是平面PBC的法向量，则 即

x 2y z 0. n BP 0,

因此可取n (0, 1, 2).

m BP 0,

设m是平面PBQ的法向量，则

m PQ 0.

可取m (1,1,1).所以cos m,n 故二面角Q—BP—C

的余弦值为 12分 提示四 提示五 难度 中

正确答案（I）2; （II）选择种植品种乙

提示一 此题考查随机变量的分布列期望以及样本平均数和样本方差.考查学生的对事件的识别能力和计算能力.确定X的取值和准确记忆期望、样本平均数和样本方差的计算公式是解题的前提. 提示二(1)根据题意，明确X的取值，利用随机事件的概率公式P

m

进行计算，然后利用期望公式求解；（2）利用样本平n

均数和样本方差的公式分别计算两种情况下数值，通过数值大小比较确定选择哪一种品种. 提示三（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且

1322C4C4C4C418118

P(X 0) 4 ,P(X 1) 4 ,P(X 2) ,

C870C835C8435

P(X 3)

CC811

,P(X 4) .44

C835C870

3414

即X的分布列为

4分 X的数学期望为

E(X) 0

181881 1 2 3 4 2. 6分 7035353570

（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1

x甲 (403 397 390 404 388 400 412 406) 400,

8

12

S甲 (3 ( 3)2 ( 10)2 42 ( 12)2 02 122 62) 57.25.

8

8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1

x乙 (419 403 412 418 408 423 400 413) 412,

8

12

S乙 (72 ( 9)2 02 62 ( 4)2 112 ( 12)2 12) 56.

8

10分

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 12分 提示四 提示五 难度 难

正确答案（I）.（II

）当0 e 34时，不存在直线l，使得BO//AN；

e 1时，存在直线l使得BO//AN. 提示一 此题考查椭圆和直线的位置关系和探索性问题.考查学生对数形结合和分类讨论的理解，以及计算能力.利用直线和椭圆联立得到交点坐标和BO//AN得到斜率相等是解答本题的前提.

提示二 (1)根据离心率相同设出两个椭圆方程,利用直线l和椭圆联立，确定A和B的坐标，进而表示出BC与AD；（2）利用BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，得到t、e的表达关系式，通过t的范围和函数关系确定e范围，进而明确是否存在直线l，使得BO∥AN.

提示三（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设

x2y2b2y2x2

C1:2 2 1,C2:4 2 1,(a b 0)

abaa

设直线l:x t(|t| a)，分别与C1，C2的方程联立，求得

A(tB(t 4分

1当e 时,b a,分别用yA,yB表示A，B的纵坐标，可知

22

2|yB|b23

|BC|:|AD| 2 . 6分

2|yA|a4

（II）t=0时的l不符合题意.t 0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即

,

tt a

ab21 e2

2 a.

解得t 2

a b2e

1 e2因为|t| a,又0 e 1,所以2 1, e 1.

2e

所以当0 e 时，不存在直线l，使得BO//AN；

2

当 e 1时，存在直线l使得BO//AN. 12分

2

提示四 提示五 难度 难

正确答案 (1)f(x)在(0,)单调增加，在(, )单调减少. （II）（III）详见提示.

提示一 本题考查函数的单调性、不等式的证明.考查学生灵活应用分类讨论思想、等价转换思想的能力和构造函数证明不等式的解题能力.清晰导数法研究函数的单调性、构造函数g(x) f( x) f( x)和借助前一二问结论解决第三问的意识是解题的前提.

提示二(1)首先明确函数的定义域，利用求导和对a进行分类确定函数的单调区间；（2）利用构造函数

1

a1a

1a1a

11

g(x) f( x) f( x),通过求导确定其最小值大于0；（3）借助第一问和第二问的结论进行证明.

aa

1(2x 1)(ax 1)

. 提示三（I）f(x)的定义域为(0, ), f (x) 2ax (2 a)

xx

（i）若a 0,则f (x) 0,所以f(x)在(0, )单调增加.

1

（ii）若a 0,则由f (x) 0得x ,

a

且当x (0,)时,f (x) 0,当x

1a1

时,f (x) 0. a

1a

11

（II）设函数g(x) f( x) f( x),则

aa

g(x) ln(1 ax) ln(1 ax) 2ax,

所以f(x)在(0,)单调增加，在(, )单调减少. 4分

1a

aa2a3x2

g (x) 2a .

1 ax1 ax1 a2x2

1

当0 x 时,g (x) 0,而g(0) 0,所以g(x) 0.

a111

故当0 x 时，f( x) f( x). 8分

aaa

（III）由（I）可得，当a 0时,函数y f(x)的图像与x轴至多有一个交点，

11

故a 0，从而f(x)的最大值为f(),且f() 0.

aa

1

不妨设A(x1,0),B(x2,0),0 x1 x2,则0 x1 x2.

a

211

由（II）得f( x1) f( x1) f(x1) 0.

aaa

x x212

. 从而x2 x1,于是x0 1

a2a

由（I）知，f (x0) 0. 12分

提示四 提示五 难度 中

正确答案（I）（II）详见提示.

提示一 此题考查平面几何的线线证明和证明四点共圆.考查学生的转化划归能力和平面想象能力.清晰圆的几何性质和证明四点共圆的方法是解题的前提.

提示二 (1)通过同位角相等证明线线平行；（2）通过证明三角形△EFA≌△EGB，进而证明∠AFG+∠GBA=180°，达到证明四点共圆的目的.

提示三（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.

因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA，

所以CD//AB. 5分

（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.

连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE， 又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.

故A，B，G，F四点共圆 10分 提示四 提示五