辽宁工业大学高数习题课10-1-1

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第十章 曲线积分与曲面积分习题课( 习题课(一)对弧长的曲线积分(第一型曲线积分) 对弧长的曲线积分(第一型曲线积分)

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一,对弧长的曲线积分的概念1.定义 .

∫ f ( x, y )ds = lim ∑ f (ξ , η )sL λ →0 i =1 i i

n

i

∫ f ( x, y,Γ

z )ds = lim ∑ f (ξ i , η i , ζ i )s iλ →0 i =1

n

2.物理意义 . 的质量. 表示线密度为 ρ( x , y ) 的弧段 L = AB 的质量M = ∫ ρ( x , y )dsL

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二,对弧长的曲线积分的性质1.线性性质:∫ [αf ( x , y ) + β g( x , y )]ds = α ∫ .线性性质:LL

f ( x , y )ds + β ∫ g ( x , y )ds .L

2.可加性: 若L = L1 + L2 , 则 .可加性:

∫ f ( x,L

y)ds =

∫ f ( x,L1

y)ds +

∫ f ( x,L2

y)ds.

3.L . 的弧长:s = ∫Lds 的弧长:f 4. 单调性:设在上 L , ( x, y) ≤ g( x, y). 则 单调性:

∫ f ( x,L

y )ds ≤ ∫ g ( x , y )ds.L

5. 与积分曲线方向的无关性: 与积分曲线方向的无关性:

∫ f ( x,AB

y )ds =

∫ f ( x,BA

y )ds

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三,对弧长的曲线积分的计算方法方法:化为定积分计算( 上限) 方法:化为定积分计算(注:下限<上限) 下限 上限 (1)参数方程:若 L : x = (t ), y = ψ (t ) (α ≤ t ≤ β ); 则 )参数方程:

∫L

f ( x, y )ds = ∫ f [ ( t ), ψ ( t )] ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) dtα

β

(2)直角坐标:若 L : y = ψ( x ) ( x 0 ≤ x ≤ X ); 则 )直角坐标:

∫L

f ( x , y )ds = ∫

X x0

f [ x , ψ ( x )] 1 + ψ ′ 2 ( x ) dx

(3)极坐标:若 L : r = r(θ ) (θ1 ≤ θ ≤ θ 2 ) ; 则 )极坐标:

∫L

f ( x , y )ds = ∫ f (r cosθ , rsinθ ) r 2 (θ ) + r ′ 2 (θ ) drθ1

θ2

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(4)参数方程:若 Γ : x = (t ), y = ψ (t ), z = ω(t ) (α ≤ t ≤ β ); 则 )参数方程:

∫

Γ

f ( x , y , z )ds = ∫ f [ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )] ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) + ω ′ 2 ( t ) dtα

β

被积函数可用积分曲线方程化简! 注: 被积函数可用积分曲线方程化简!

四,对弧长的曲线积分的解题方法计算第一型曲线积分的关键是判别积分曲线的方程形 其次是确定积分变量的取值范围, 式,其次是确定积分变量的取值范围,最后是转化为定积 分计算.解题方法流程图如下框图所示: 分计算.解题方法流程图如下框图所示:

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解题方法流程图I = ∫ f ( x , y )dsL

判别 L方程的形式 3

1 L : y = ψ ( x)

2 x = (t ) L: y = ψ (t )ds = '2 (t ) + ψ '2 ( t )dt

L : r = r (θ )

ds = 1 + ψ '2 ( x )dx

ds = r 2 (θ ) + r '2 (θ )dθ

a≤ x≤bβ

α≤t≤βθ2

θ1 ≤ θ ≤ θ 2

I = ∫ f [ x,ψ ( x )] 1 + ψ ' ( x )dx I = ∫α2 a

b

2 2 f [(t ),ψ (t )] ' (t ) +ψ ' (t )dt I = ∫θ1 f [r(θ )cos(θ ), r(θ )sinθ] r (θ ) + r ' (θ )dθ2 2

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五,典型例题【例1】计算 I = ∫ L yds, 其中 L 为摆线 x = a ( t sin t ), y = a (1 cos t ) 】 的一拱 (a > 0, 0 ≤ t ≤ 2π ). 的方程为参数形式, 分析 由于本题积分曲线 L的方程为参数形式,从计算方 法

框图上看,我们可采用线路2的方法计算. 法框图上看,我们可采用线路2的方法计算. x = a ( t sin t ) 解: 由于 L : , ( 0 ≤ t ≤ 2π ); 而 y = a (1 cos t )ds = x ′ 2 + y ′ 2 dt = 2a (1 cos t ) dt , ( 0 ≤ t ≤ 2π )1 21 2

故

I=

∫

L

yds =2 2π

∫

2π 0

a (1 cos t ) 2a (1 cos t ) dt

π t 2 = 4a ∫ sin dt = 8a ∫ sin 3 udu 0 0 2 π 32 2 2 a . = 16a ∫ 2 sin 3 udu = 0 2

3

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【例2】计算曲线积分 ∫ L 】

2 2 x 2 + y 2 ds , 其中 L为圆周 x + y = ax .

分析 由于圆周 x2 + y2 = ax在极坐标下的方程为 ρ = a cosθ , 故从解题方法框图上看,我们可采用线路 的方法计算 的方法计算. 故从解题方法框图上看,我们可采用线路3的方法计算. 解: 圆周 x + y = ax 在极坐标下的方程为 ρ = a cos θ ( 2 ≤ θ ≤ 2 ),2 2

π

π

则 ds = ρ 2 + ρ ′ 2 dθ = adθ . 故

yL0. a 2

∫

L

x 2 + y 2 ds = ∫ 2π ρ ads 2

π

= ∫ 2π a cosθ adθ2

π

a

x

2 = 2a 2 ∫ 02 cos θdθ = 2a .

π

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【例3】计算 I = ∫ Lxds , 其中 L 为双曲线 xy = 1从点( , 2) 至 】 的弧段. 点(1, 1) 的弧段. 分析1 1 y= 或 x= 的 由于本题积分曲线 L的方程可化为 x y

1 2

形式, 故从计算方法框图上看, 我们可采用线路1的方法计算 的方法计算. 形式 故从计算方法框图上看 我们可采用线路 的方法计算. 为积分变量的定积分计算比较困难, 但考虑到化为以 x为积分变量的定积分计算比较困难 故本题 1 的形式. 积分曲线 L应采用 x = 的形式 y 1 解: 由于 L : x = , 1 ≤ y ≤ 2; 所以y

I==

∫ xds = ∫ 1L

2

1 1 + x ′dy y

∫

2 1

1 + y4 y3

dy =

1 2 4 1 ∫1 1 + y d y 2 2

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4 1 1+ y = 2 y2

2

∫1

2 1

1 y2

= 2 17 2 2 y dy dy ∫1 1 + y 4 4 2 8 1+ y 2y3

2 17 1 4 + 17 2 17 1 2 1 + ln d( y2 ) = = + ∫ 1 2 2 2 8 2 2 8 2 1+ 2 1+ (y )

e 【例4】 计算 I = ∫ L 】

x2 + y2

2 2 2 ds, 其中 L 为圆周 x + y = a ,

轴在第一象限内所围成 …… 此处隐藏：3609字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……