理论力学 第七章 刚体的简单运动

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第七章 刚体的简单运动

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§7-1刚体的平行移动1、定义刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始位置， 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始位置， 这种运动称为平行移动，简称平移。 这种运动称为平行移动，简称平移。

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2、运动方程

r r r uuu rB = rA + AB3、速度和加速度分布 uuu r d AB 因为 =0 dt r r r drB drA r 所以 vB = = = vA dt dt

( )

r r r dvB dvA r aB = = = aA dt dt

刚体平移→点的运动 刚体平移 点的运动

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§7-2 刚体绕定轴的转动1、定义刚体上(或其扩展部分)两点保持不动， 刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为 刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。 刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。 转轴 ：两点连线 转角： 转角： 单位:弧度(rad) 单位:弧度(rad)

2、运动方程

= f (t )

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3、角速度和角加速度角速度 d 大小： d ω= dt dt 方向： 方向：逆时针为正

角加速度

dω d2 & && α= = 2 =ω = dt dtdω α= =0 dt

匀速转动 匀变速转动

= 0 + ωtω = ω0 +αt

dω α= = cont dt

1 2 = 0 + ω0t + αt 2

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§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度1、点的运动方程

s = R 2、速度

& & v = s = R = Rω3、加速度dv s at = = && = Rα dt 2 v 1 2 an = = ( Rω) = Rω2 ρ R

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4、速度与加速度分布图

v = Rω

a = at + an = R α 2 + ω 42 2

at α tan θ = = 2 an ω

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§7-4 轮系的传动比1、齿轮传动① 啮合条件

Rω1 = vA = vB = R2ω2 1② 传动比

ω1 R2 z2 i12 = ± = ± = ± ω2 R z1 1

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2、带轮传动

rω1 = vA = v′ = v′ = vB = r2ω2 1 A B

ω1 r2 i12 = = ω2 r 1

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§7-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度1、角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量d ω =ω = 大小 dt 作用线 沿轴线 滑动矢量 r

ω

r

指向

右手螺旋定则

r ω = ωk r角加速度矢量 r r r dω dω r α= = k = αk dt dt

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2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度r r r v =ω×r 速度大小 方向

r r r r ω r sin θ = ω R = v右手定则

r r dv d r r = (ω × r ) 加速度 a = dt dt r r dω r r dr dr = × r +ω × dt dt

r r r r = α × r +ω×vr r = a t + an

r r r at = α × r

M点切向加速度 点切向加速度 M点法向加速度 点法向加速度

r r r r r r an = ω × v = ω × (ω × r )

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刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O, 刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点 r r πt r πt r 角速度矢为 ω = 5sin i + 5cos j + 5 3k。 2 2 求：t =1s时,刚体上点 时 刚体上点M(0,2,3)的速度矢及 的速度矢及 加速度矢。 加速度矢。

例 7-1

r r r = 10 3i 15 j +10k r r r r r dω r r r a = α × r +ω ×v = × r +ω ×v dt r r 15 r = π + 75 3 i 200 j 75k 2

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例 7-2 r 某定轴转动刚体通过点M0(2,1,3),

某定轴转动刚体通过点 的方向余弦为0.6,0.48,0.64,角速度 其角速度矢 ω 的方向余弦为 角速度 的大小ω=25rad/s 。 的大小 刚体上点M(10,7,11)的速度矢。 的速度矢。 求：刚体上点 的速度矢 解：角速度矢量

r ω =ωn

r

r 其中 n = ( 0 . 6 , 0 . 48 , 0 . 64 )

M点相对于转轴上一点 0的矢径 点相对于转轴上一点M 点相对于转轴上一点

r r r r = rM rM0 = (10,7,11) ( 2,1,3) = ( 8,6,8)r r r i j k r r r r r r r v = ω×r = ω( n ×r ) = ω 0.6 0.48 0.64 = 8 j 6k 8 6 8