《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积体积》

探究 2: 正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积 公式之间的关系：c’=c上底扩大

c’=0上底缩小

S柱侧 ch '

S台侧

1 c ' c h ' 2

S 锥侧

1 ch ' 2

四. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 (1)将圆柱沿一条母线剪开后，展开图 是一个矩形，这个矩形的一边为母线， 另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱 底面半径为r,母线长为l,则侧面积 S圆柱侧=2πrl.O`

O

(2)将圆锥沿一条母线剪开，展开在一 个平面上，其展开图是一个扇形，扇形的 半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥底面 圆的圆周

S圆锥侧= πrl,其中l为圆锥母线长，r为底面圆半径。

S

c=2 r

l

O

r

A

(3)圆台可以看成是用一个平行底面的 平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图 是一个扇环，设圆台上、下底半径为r、R, 母线长为l,1 则S圆台侧=π(r+R)l= (c1+c2)l,其中r,R 2

分别为上、下底面圆半径，c1,c2分别为上、下底面圆周长，l为圆台的母线。

S c1 c2 O1 l R O2 r

三、球的表面积球面面积(也就是球的表面积)等于

它的大圆面积的4倍，即S球=4πR2, 其中R为球的半径.

公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。

V长方体= abc推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。

V长方体= sh推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。

V正方体= a3

二：柱体的体积

定理1: 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它 的底面积 s 和高 h 的积。

V柱体= sh推论 ： 底面半径为r,高为h圆柱的体积是

V圆柱= r2h

定理︰如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面 积是S,高是h,那么它的体积是： 1 V锥体= Sh 3 推论：如果圆锥的底面半径是r,高是h, 那么它的体积是： 1 V圆锥= πr2h 3h h

S

S

S

例3:

已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1. C1

求：(1)棱锥B1-A1BC1的体积。 D1解:

V棱锥B1 A1BC1 V棱锥B A1B1C1

A1 O

B1

1 S A1B1C1 BB1 3 1 1 2 a a 3 2 1 a3 A 6 1 3 所以棱锥B1-A1BC1的体积为 a 6

D B

C

四.台体的体积上下底面积分别是s/,s,高是h,则

1 V台体= h(s + ss' + s') 3x s/

s/ s

hs

六.球的体积

4 3 V球 = πR 3

例1. 已知正四棱锥底面正方形 长为4cm,高与斜高的夹角为

30°,求正四棱锥的侧面积及全面积.(单位：cm2 )D

P

C O

EB

A

例2. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 面，它们的面积分别为49πcm2和400π cm2, 求球的表面积. 解：由截面圆的面积分别 是49πcm2和400π cm2,

解得AO1=20cm,BO2=7cm. 设OO1=x, 则OO2=x+9.

O2 O1 O

B A

所以R2=x2+202=(x+9)2+72.解得x=15(cm).

所以圆的半径R=25(cm).所以S球=4πR2=2500π(cm2)