大一06-07数分期末试题及答案(071)

北航大一历届数学分析试题

2006-2007学年第一学期

考试统一用答题册

考试课程 工科数学分析（上）

班级 成绩 姓名 学号

2007年1月19日

北航大一历届数学分析试题

数学分析(上)期终考试试题

一、单项选择（每小题4分，共20分）

121

2xsin2 cos2 x 0

1. 设f(x) , 则 【 C 】 xxx

0 x 0

Ａ．f(x)在 x 0处连续 Ｂ. f(x)在[-1，1]上可积 Ｃ．f(x)在[-1，1]上有连续原函数 D. f(x)在x 0处导数连续

2． 下列命题中不正确的是 【 D 】

A. 若f(x)在(a,b)内的某个原函数是常数，则f(x)在该区间内恒为零。 B. 若f(x)的某个原函数为零，则f(x)的所有原函数必为常数。 C. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)必为连续函数。

D. 若f(x)在(a,b)内不是连续函数，则在(a,b)内f(x)一定没有原函数。 3. 设曲线C由参数方程 x acost,y asint

2

2

(a 0,0 t

4

) 给出，则该曲

线的弧长为 【 B 】 A． a B.

3 C. a D.

24． 设级数

a

n 1n

n

收敛，则级数 【 D 】

A.

a

n 1

也收敛 B.

( 1)

n 1

n

an 也收敛

C.

aa

nn 1

n 1 也收敛 D.

an an 1

也收敛 2n 1

5． 设 0为任意常数，则级数

n 1 ( 1)1 cos 【 C 】n n 1

A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与 有关

北航大一历届数学分析试题

二、填空题（每小题4分，共20分）

1

1．

= ; x 062． 反常积分

1dx = e2 1,或

arcsine 1，或者arccose 1；

e2x 1

2

1

1

3． 如果

f(x)ex

dx ex

C，则f(x) =

1x

2； dxx

4． et2 x2

dt x2t2

dx

0= 1 2xe 0

e

dt；

5． 函数f x 2x

在x 0处的带Peano余项的n阶泰勒公式为

2x

n

lnk2xk o(xn

) 1 ln2x ln22x2 lnn2xn o(xn) k 0

k!1!2!n!三、计算题（每小题5分，共20分）

1.

ln

x x2

dx 解 ln x

x2

dx

xln(x x2

)

x

1x x2

(1

2xdx2 x

2

)………….3分

xln(x x2)

x x

2

…………………………………..4分

xln(x x2) x2 C……………………………………..5分22.

1

解 I

1

2x21

1

1 x2

xcosx 1

1 x

2

dx………………………………….1分

4 1

x2

01 x

2 0 4 1

x2(1 x2)120x2 4 0(1 x)dx..4分 4[1 1

x2dx] 4[1

4

] 4 ,…………………………………5分

3. cos5x

sin4x

dx 。

北航大一历届数学分析试题

sinx u(1 sin2x)21 2u2 u4

dsinx ……………..2分 解 I 44

sinxu

1

(u 4 2u 2 1)du u 3 2u 1 u C…………………….4分

3

12 sinx C ；……………………………………5分

3sin3xsinx

4. 设D是由曲线 y

a2 x2(a 0) 与三条直线 x 0,x a,y 0 所围成

的曲边梯形，求D绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积。

解 V V1 V2

a

a2dy

a

a

[a2 (y2 a2)]dy…………………….3分

a3 2 a2(2a a)

a3 2 a3(2 1)

y2dy

3

y3|a2a

12

(22 1) a3 (22 1) a3 (22 1) a3 ………………………5分

33

四、判断下列级数的敛散性（每小题5分，共20分）

nn

1、 2

(n!)n 1

nn

解 设an ，显然an 0 2

(n!)

an 1(n 1)n 1(n!)21n1由于 (1 ) 0（n )，……3分

annn 1[(n 1)!]2nn

an 1nn

即有lim收敛；………………5分 0 1； 于是 2n an 1(n!)n

2、

n 11n sin

1n

，显然an 0，所以是正项级数；

解 设an

lim

n

anx sinx1 cosxsinx1

lim lim ，………3分 lim32x 0x 0x 016x6x3xn

又

n 1

1n

收敛，所以

收敛；………………….5分

n 1

北航大一历届数学分析试题

或者由an

1n

sin

1n

11111

，……………………….3分 o()~3!n6nn又

n 1

1n

收敛，所以

收敛；……………………………..5分

n 13、

cos(n!)

n 1n(n 1)

cos(n!)1，因为|an| ，……………..2分

n(n 1)n(n 1)

解设an

1

又 收敛，所以 |an|收敛，…………………..4分

n(n 1)n 1n 1

故原级数绝对收敛。………………………………………….5分 4、

cos(3n)

nn 1

13

|sin|

2

，………………….2分

N

1

解设an cos3n,bn ，由于| an|

nn 1

{bn}单调递减趋于0，…………………………………………………...3分

由狄利克雷判别法，级数

cos(3n)

收敛 。………………………….5分 nn 1