几何精练

解决三角函数各类问题的十种方法

１ 凑角法

一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现顺利解答． 例１ 求tan20 4sin20 的值．

解析 原式 sin20 2sin40 sin20 2sin(60 20 ) cos20 cos20

sin20 2(sin60 cos20 cos60 sin20 ) cos20

评注 三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．本题注意若将第一步中的分子化为sin(60 40 ) 2sin40 ，或者化为sin(30 10 ) 2sin(30 10 )，都没有上面的方法简捷，请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨慎选择！

２ 降幂法

一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及sin cos 1，或降幂公式22

sin2 1 cos2 1 cos2 ,cos2 等借助降幂策略解答． 22

226例２ 若cos cos 1，求sin sin 的值．

2解析 由cos cos 1，

得cos

2cos ．由cos cos 1，22又可得cos 1 cos sin ，

263s 则sin sin cos cos ，又由co 2c o s，得1co2 s 1 co，s故co s 3c os co s2( 1 cos )2， 可

o得c os (2 c os ) 2co代 s值cs3cosin2 sin6 评注 若求出cos 的值后直接简单代入，则运算量将大得多，而主动降幂后就截然不同了．涉及非单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“高次”问题就特别注意联想“降幂法”解答．

３ 配对法 根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答． 例３ 已知x (0,

2)，且cos2x cos22x cos23x 1，求x的值．

2222222解析 设m cosx cos2x cos3x，令n sinx sinx sixn则3m n 3，，