拆项法求数列和(5)

资料

11．（浙江理科13）不等式|2x 1| x 1的解集是_____________。

x 2y 5 0 22

12．（浙江理科17）设m为实数，若 (x,y) 3 x 0 {(x,y)|x y 25}，则m的取值范围是_____________。

mx y 0

13．（湖北理科3）3.设P和Q是两个集合，定义集合P-Q= x|x P,且x Q ，如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q等于（B）

A．{x|0<x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3} 14．（湖北理科21）（本小题满分14分） 已知m，n为正整数.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；

1

（Ⅱ）对于n≥6，已知 1

n 3

n

m

，求证 1 2n 3

1

n

1

2

m

，m=1,1,2…，n；

（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.

解：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 1 当x>-1，且x≠0时，m≥2,(1+x)m>1+mx. ○

(i)当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为x≠0,所以x2>0，即左边>右边，不等式①成立；

（ii）假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0. 于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得 （1+x）k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x, 所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当m＝k+1时，不等式①也成立. 综上所述，所证不等式成立.

11m m

（1 ） , (1 ) (), (Ⅱ)证：当n 6,m n时，

n 32n 3 2

m

11

n

而由（Ⅰ），(1

1n 3

)

m

1

mn 3

n

11m nm

(1 ) (1 ) ().

n 3n 3 2

（Ⅲ）解：假设存在正整数n0 6使等式3

n0

m

4

n

(n0 2)

n0

(n0 3)

n0

成立，

即有（

3n0 3

n0

）+(

4n0 3

)

n0

(

n0 2n0 3

)

n0

＝1. ②

又由（Ⅱ）可得 （

3n0 3

n0

）+(

4n0 3

)

n0

(

n0 2n0 3

)

n0

(1

n0n0 3

)

n0

(1

n0 1n0 3

)

n0

+(1

1n0 3

)

n0

1n1n 111 ()0 ()0 1 n 1,与②式矛盾，

22220

故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n.