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拆项法求数列和

在进行数列求和时，同学们都希望将n项变成1项,然而解决一类通项为分式的数列求和问题时，我们要往往将数列的每一项拆为两项，表面上看来是变得更麻烦了，最后求和的时候却能够得到非常简单的结果。 想了解其中的奥秘吗？请跟我学！

总体思路

先看一个现象：

12

11 2

1

12

，

16

12 3

23

12

，

12

13

简单的一项被拆分为两项，有什么意义呢？这就是常用得拆项法.

12

16

＝？这个很好算，直接通分很容易就可得＝

16

112

120

＝？

费一番功夫通分运算得

451

，观察得

12

16

112

12045

1 2

12 3

13 4

14 5

如果将每一项都拆开的话 (1

12

12

13

13

14

14

15

) 1

15

前后项相消得解。

由上启发得

1 11 11 1

，那么 ，

n(n 1) nn 1 (n a)(n b)b a n an b

1

11

数列 那么如果通项分母中含有3个因子呢？如an 同样拆 的求和问题则变得相当简单，

(n a)(n b)(n c) (n a)(n b)

一为二an

c a ( n1

1)a( n

)b (

1

这样数列

nn )b( n)c (n a)( 1

的求和就变为数列

b) (n c)

111

和数列的求和问题，依次类推分母中含有多个因子，最后都能转变为 类n b) (n a)( (n b)(n c) (n a)(n b)

型的数列求和，这类题得解题步骤为：

第一步：求出或观察该数列的通项公式；

第二步：以“拆一为二”为原则，将数列的通项公式转化成

1

(n a)(n b)

形式；

1

第三步：以“拆一为二”为原则，对 类型的数列求和进而得解。

(n a)(n b)

下面我们来体验一下该方法的使用。

体验

求和

21 3

22 4

23 5

2n (n 2)

体验思路：首先易观察该数列的通项公式 an

2n(n 2)

第二步可直接对通项公式进行拆分，求n项和

体验过程：第一步：数列的通项公式为an 2n(n 2)