高数补考前辅导课安排良乡 4月7日(周六) 4课时 1-107 上午：9:00-12: 00 下午：1:00-2: 00 毛京中

多元函数微分学 习题课

一、主要内容平面点集 和区域极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元函数概念

多元函数 的极限多元函数 连续的概念

方向导数复合函数 求导法则全微分形式 的不变性

全微分 概念

全微分 的应用 高阶偏导数

偏导数 概念

隐函数 求导法则微分法在 几何上的应用

多元函数的极值

问题：求极限，判断 函数极限存在性

多元函数的极限存在性 ——定义，夹逼定理

不存在求法

——特殊路径、两种方式——运算法则、定义、夹逼定理

消去零因子、化成一元极限等

例1. 讨论二重极限解法1

时, 下列算法是否正确?

1 lim 1 1 0 x 0 y xy 0x 时, 1 x 1 y

此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 第二步 未考虑分母变化的所有情况, 例如, y 此时极限为 1 . 解法2 令 y k x , 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y x 2 x 时

1 1, x

解法3 令 x r cos , y r sin ,

此法忽略了 的任意性,极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 本题极限实际上不存在 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.

问题：函数连续性、 偏导数存在性、可微 性的判别

1 , x arctan 2 2 f ( x , y ) x y 例. 讨论 0

( x, y ) (0, 0) ( x, y ) (0, 0)

在点 (0, 0) 处的连续性，偏导数的存在性及可微性. 解 由于当( x, y ) (0, 0) 时， 1 | arctan | x2 y 2 2 故 1 lim f ( x, y ) lim x arctan 0 f (0, 0) 2 2 x 0 x 0 x y y 0 y 0

所以函数f ( x, y)在(0, 0)点连续.

偏导数

f ( x, 0) f (0, 0) 1 1 lim ( x arctan ) f x (0,0) lim x 0 x 0 x x x2 1 lim arctan x 0 x2 2 f (0, y) f (0, 0) 0 lim 0 f y (0,0) lim y 0 y 0 y y

可微性 在点(0,0)处， z f x (0,0) x f y (0,0) y 1 1 x arctan ( x x arctan , x , y ) (0, 0) 2 2 2 ( x) x 2 ( y) f ( x, y ) y2 1 x(arctan ( )x, y ) (0, 0) 0 2 2 2 ( x) ( y)

z f x (0,0) x f y (0,0) y x(arctan因此 z f x (0, 0) x f y (0, 0) y

) ( x)2 ( y)2 21

1

由于lim(arctan 0

x

(arctan

2

)

1

2

) 0 0

故 lim 0

z f x (0, 0) x f y (0, 0) y

因此函数f ( x, y)在(0,0)点可微.

问题：求偏导数、高阶偏导数(多元复合函数、隐

含数求导方法)

二、多元函数微分法1. 分析复合结构

显式结构(画变量关系图)

隐式结构 自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 ―链式法则” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性

y 例2 设 z x f ( xy , ), ( f 具有二阶连续偏导数), x z 2 z 2 z 求 , 2, . y y x y3

解

z 1 3 x ( f1 x f 2 ) x 4 f1 x 2 f 2 , y x 2z 1 1 4 2 x f12 ) x ( f 21 x f 22 ) x ( f11 2 y x x

2 x 3 f12 xf 22 , x 5 f11

2z 2z 4 ( x f1 x 2 f 2 ) x y y x x

y 4 x f1 x [ f11 y f12 ( 2 )] 2 xf2 x y 2 y f 22 ( 2 )] x [ f 21 x3 4

yf 22 . 4 x 3 f1 2 xf 2 x 4 yf11

设函数

在点

f (1,1) 1,

f x

(1,1)

2,

f y

处可微 , 且(1,1)

3,

( x) f ( x, f ( x, x)) , 求解: 由题设 (1) f (1, f (1,1) ) f (1,1) 1

d 3 d 2 ( x) 3 ( x ) x 1 dx dx x 1 3 f1 ( x, f ( x, x))

3 2 3 (2 3) 51

( x, f ( x, x)) f2

x 1

设 u f ( x , y , z ), ( x , e , z ) 0, y sin x , du ( f , 具有一阶连续偏导数), 且 0, 求 . z dx 解 du f f dy f dz , 显然 dy cos x , dx dx x y dx z dx2 y

dz 求 , 对 ( x 2 , e y , z ) 0 两边求 x 的导数, 得 dx dz y dy e 1 2 x 2 3 0, dx dx dz 1 sin x ), ( 2 x e cos x 2 于是可得, 1 dx 3 du f f 1 f sin x ) . 故 cos x ( 2 x 1 e cos x 2 dx x y 3 z

如果函数关系式恒满足f (tx, ty, tz) t k f ( x, y, z)则称此函 数为k次齐次函数， 试证:k次齐次函数f ( x, y, z)满足关系式 f f f x y z kf ( x, y, z ) x y z 证 记u tx, v ty, w tz, 方程 f (tx, ty, tz) t k f ( x, y, z) f f f k 1 x y z kt f 两边对t求导得 u v w f f f k tx ty tz kt f kf (u, v, w) 两边同乘以t得 u v w f f f 即 u v w kf (u , v, w) u v w 用x, y, z分别替换u, v, w,即得结论.

三、多元函数微分法的应用1.在几何中的应用 求曲线的切线及法平面 (关键: 寻求切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 寻求法向量) 2. 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求解最值问题 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法)

3. 在微分方程变形等中的应用

10 x 2 y 2 z 27 2 2 2 1. 过直线 作曲面 3 x y z

27 x y z 0 的切平面，求此切平面的方程. 解 曲面切平面的法向量为 {6 x, 2 y, 2 z},通过已知直线的平面束为 (10 x 2 y 2 z 27) ( x y z ) 0 (10 ) x (2 ) y (2 ) z 27 即 设切平面的切点为( x0 , y0 , z0 ), 则有

3x02 y02 z02 27 (10 )x (2 ) y (2 )z 27 0 0 0

10 (2 ) (2 ) 6 x0 2 y0 2 z0

3x02 y02 z02 27 (10 ) x (2 ) y (2 ) z 27 0 0 0 解得

10 (2 ) (2 ) 6 x0 2 y0 2 z0

1或 19.

故所求平面方程为

9 x y z 27

或 9 x 17 y 17 z 27 0