证明：令F(x,y,z) (cx az,cy bz)，则

(cx az,cy bz)，Fy (x,y,z) c 2(cx az,cy bz)， Fx (x,y,z) c 1

(cx az,cy bz) b 2(cx az,cy bz) 3分 Fz (x,y,z) a 1 z x

Fx Fz z y

c 1 b 2a 1

ac 1 b 2a 1

，

z y

Fy Fz

c 2 b 2a 1

， 5分

a

z x

b

bc 2 b 2a 1

c。 7分

3、（本小题7分）

在椭圆抛物面z x2 2y2上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线

2x y 0

，并写出曲面在该点处的法线方程。

y 3z 0

解：曲面上点(x,y,z)处的切平面法向量 n 2x,4y, 1

n平行于直线的方向向量S 3, 6,2 ,

2x3 4y 6

12

2分 6分

代入曲面方程，得x

34

34

,y

34

,z

2716

, 点

3327

,, 4416

x y 6

34

z 2

2716

法线方程：

3

。 7分

四、解答下列各题（本大题共3小题，共23分） 1、（本小题7分）

计算 (y2 3x 6y 9)d ，其中D是闭区域:x2 y2 R2 。

D

解：利用对称性，并设x rcos ,y rsin ，则

D

(y 3x 6y 9)d 1

2 0

R0

2

D

(y 9)d

2

12

D

(y x)d 9 d

D

22

5分

2

d

rdr 9 R

32

4

R

4

9 R 。

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2

7分