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第八章习题课一第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

一

多元函数的概念、极限、连续性 多元函数的复合、定义域

f ( x y, xy ) x 2 y 2 , 求 f ( x , y ) 例1 已知解 所以f ( x y , xy ) ( x y )2 2xy

f ( x, y ) x 2 2 y

-1-

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例2第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

求函数 z

ln( x 2 y 2 4) x y

的定义域。

解

x y 4 0 x y 02 2

x2 y2 4 2 x y 0 x 0

D {( x , y ) x 2 y 2 4, x 2 y 0, x 0}

-2-

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求多元函数的极限将其化为一元函数的极限计算。第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

例3 求下列极限 sin xy 1) lim x 0 x y k sin xy sin xy lim y 解 k 0 lim x 0 x 0 xy xy k y k

sin xy lim y k lim y k xy 0 xy y 0 | xy | sin xy | y | 0 | k 0 0 | | x| x sin xy sin xy lim 0 lim k x 0 x 0 x xy 0 y k-3-

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xy x2 2) lim ( 2 ) 2 x x y y 第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

解

当 x 0, y 0 时1 xy 0 2 2 2 x y

所以

xy x 2 1 x ) x2 0 0 ( 2 2 x y 2xy x2 lim ( 2 ) 0 2 x x y y -4-

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3)第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

lim(1 xy)x 0 y 0

1 1 x y

解

lim(1 xy)x 0 y 0

1 1 x y

lim(1 xy)x 0 y 0

1 ( y x ) xy

[ lim (1 xy) ]xy 0

1 lim ( x y ) x 0 xy y 0

e0 1-5-

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判别多元函数的极限不存在，多用趋向于定点的第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

不同路径，极限值不同例4 说明下列极限不存在 x2 y 1) lim 4 x 0 x y 2 y 0 解y kx 2 , 则 x 0 y 0 取路径

x2 y kx4 k lim2 4 lim 4 2 2 4 y kx x y x 0 x k x 1 k2 x 0

x2 y 与 k 有关，所以 lim 4 2 不存在。 x 0 x y y 0-6-

2)第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

xy lim x 0 x yy 0

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y x kx2 , 则 x 0 y 0 解 取路径 1 xy x( x kx 2 ) lim 2 lim 2 y x kx x y x 0 k kx x 0 xy 与 k 有关，所以 lim 不存在。 x 0 x y y 03) x2 y2 lim 2 2 x 0 x y ( x y )2y 0

解

取路径 y x, y 2 x 则 x 0 y 0

-7-

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二第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

多元函数的的偏导数和全微分 设 z f ( x, y) z 为固定 y 对 x 求导 x z 为固定 x 对 y 求导 y

z z dz dx dy x y

-8-

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第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

z z 例5 1)设 z e sin( x y ), 求 , ,

dz x y z x e sin( x 2 y 2 ) e x cos( x 2 y 2 ) 2 x 解 x x 2 2

e x ( 2 x cos( x 2 y 2 ) sin( x 2 y 2 ) z e x cos( x 2 y 2 ) ( 2 y ) y

2 ye x cos( x 2 y 2 )dz e x ( 2 x cos( x 2 y 2 ) sin( x 2 y 2 ))dx

2 ye x cos( x 2 y 2 )dy-9-

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2)设第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

z

y x 2 , 求x e

z z 2y x yy 2 y x2 e 3

解

z x

y x2 e y x2 e

2y ( 3 ) x x1 1 x2 2 2e x xy

z y

z z x 2y x y x

y 2 y x2 e 2

y 2 y x2 e 2

x

0

- 10 -

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第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

z z x y . , 求 2, 3)设 z arctan x x y 1 xy (1 xy) y( x y ) 2 z 1 (1 xy) 解 x y 2 x 1 x2 1 ( ) 1 xy2 2

2x z 2 (1 x 2 )2 x2

2z 0 x y- 11 -

第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

2u 2u 2u x 4)设 u z arctan y , 求 x 2 y 2 z 2 1 y u yz z 2 解 x 2 x y2 x 1 ( ) y 2 u 2 xyz 2x yz 2 2 2 2 2 x (x y ) ( x y 2 )2 x 2 2 u xz y u 2 xyz 2 z 2 2 x 2 x y y y ( x 2 y 2 )2 1 ( ) y u x 2u 2u 2u 2u arctan , 0 2 2 0 2 2 z y z x y z- 12 -

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多元函数可微与连续、偏导存在的关系第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

1)函数 z f ( x , y ) 偏导数存在 连续典型例题 xy x2 y2 f ( x, y) 0 x2 y2 0 x2 y2 0

f x (0,0) f y (0,0) 0, 但 f ( x , y )在(0,0) 不连续

- 13 -

第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

x2 2 2 证明函数 f ( x , y ) x y 例6 0 在原点处连续，但 f x (0,0) 不存在。解

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x y 02 2

x y 02 2

0 | f ( x , y ) | | x | 0lim f ( x , y ) 0 f (0,0)x 0 y 0

x 0

所以函数在原点处连续。

( x ) 2 x f ( x ,0) f (0,0) lim lim lim x 0 | x | x x 0 | x | x 0 x不存在，所以 f x (0,0) 不存在。- 14 -

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第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

偏导数存在 2)函数 f ( x , y ) 可微 连续 偏导数存在 可微 连续典型例题

xy 2 x y2 f ( x, y) 0

x2 y2 0 x2 y2 0

- 15 -

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三 复合函数的偏导数第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

例7 设 z ( x y )e2 2

x2 y2 xy

z z 求 , , dz. x y u则 z ue v

解

u x 2 y 2 , v xy 令

u u u z z u z

v u v v u 1ev ) (e ( 2 x ) u( 2 )e y x u x v x v v

1 2 2e x y z 1 2 2e y x yx2 y2 xy

x2 y2 xy

( x4 y4 2 x 3 y) y

( y 4 x 4 2 xy3 ) x- 16 -

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第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

2z 2z 例8 设 z xf ( 2 x 3 y ) g( xy, x 2 y 2 ), 求 2 , x x y 解 z f 2 xf yg1 2xg2 x 2 z 2 f 2 f 4 xf y ( yg11 2 xg ) 2g 12 2 2 x 2 x( yg21 2 xg22 ) y 2 g11 4xyg12 4 x 2 g22 4 f 4 xf 2g2 2z 3 f 6 xf g1 y ( xg11 2 yg12 ) x y 2 x( xg21 2 yg22 )

3 f 6 xf g1 xyg11 2( x 2 y 2 ) g12 4xyg22- 17 -

第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

2 u 2 u 2 u 其中 例9 设 u f ( x , xy , xyz ) 求 , , , 2 x x y x z 二阶偏导数连续。 u f1 y f 2 yz f 3 解 x 2 u f11 yf12 yzf13 y( f 21 yf 22 yzf23 ) 2 x yz( f 31 yf32 yzf33 ) 2u xf12 xzf13 f 2 y( f 22 xzf23 ) zf3 x y yz( xf32 xzf33 )- 18 -

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f11 y 2 f 22 xyz 2 f 33 2 yf12 2 yzf13 2 y 2 zf 23

f 2 zf 3 xf12 yf 22 2 xyzf 23 xyz 2 f 33

第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用

例10 设 z xf ( x ) ( x 1) y ln x , 证明 2z 2z x 2 2 y 2 2 ( x 1) y x y 其中 f 二阶导数存在。 解 z f x ( y ) f y ln x ( x 1) y x x x2 2 z y y f y ( y ) f y y ( 2 ) f 2 x x2 x2 x x2 x x 2 y y y 3 f 2 x x x 2 z 1 1 z f x f ( x 1) ln x 2 x y x y 2z 2z y2 y2 2 2 x y f ( x 1) y f xy y 2 2 x x y x- 19 -

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