维修线性流量阀时的 内筒设计问题——2006研究生数学建模竞赛C题

油田采油用的油井都是先用钻机钻几千米深的孔后，再 利用固井机向四周的孔壁喷射水泥砂浆得到水泥井管后形成 的。固井机上用来控制砂浆流量的阀是影响水泥井管质量的 关键部件，但也会因磨损而损坏。目前我国还不能生产完整 的阀体，固井机仍依赖进口。由于损坏的内筒已经被磨损得 面目全非，根本无法测绘出原来的形状，因此维修时只能根 据工作原理并结合阀的结构进行设计。根据仪表刻度可知控制流量的阀是一个线性阀，即阀体 的旋转角度与砂浆流量成正比。在设计分析中假设砂浆的压 力恒定，进而流量与“过流面积“(严格定义见下文)成正 比，因此阀体的旋转角度应该与“过流面积“成正比。

一般来讲，控制流量的阀体为两个同心 圆柱筒(两筒直径大致相等)。外筒固定， 它的侧面上有一个孔，形状为两个直径不等 (相差至少3、4倍以上)的圆柱体的交线 (见示意图，孔的形状可能由于输出水泥砂 浆的管道是圆柱形的和磨损方面的考虑而取 上述形状)。内筒和外筒轴向之间没有相对 运动，内筒可以自由转动。内筒的侧面上也 有一个孔，它原来的形状未知(维修的任务 就是设计内筒孔的形状),砂浆可以从两个 孔的相交部分即“过流面积”流过。显然 “过流面积”不能超过外筒孔的面积。现在 数控机床比较普及，只要知道曲线的形状就 可以在维修所需要的内筒上加工出合适的孔。 当然从实际加工角度考虑，内筒孔的形状也 不宜太复杂。

可以把两个圆柱筒展开成平面，即为两个长方形，筒的转 动转化为两个长方形的平动来思考，此时可将外筒孔近 似看作圆孔。

(1)讨论在上述阀体结构下，在“过流面积”从为零直到外筒孔面积的范围(简称“最大范围”)内，能否通过 选择内筒孔形状实现“过流面积”与内筒旋转角度成严

格的线性关系。如果不能，请设计内筒孔的形状，在“最大范围”内，使“过流面积”与内筒旋转角近似成 线性关系，同时在“最大范围”内，实际情况与严格线

性关系的误差在某种意义下最小。

(2)实际上，固井机向孔壁喷射水泥砂浆时经常采用的“过流面积”是在一个稍小的范围内，被称为主要工作区， 它是 “最大范围”中的一段。因此，在维修固井机内筒时，

比较令人满意的内筒孔形状应该使主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间尽量长(至少达“最大范围”区间长度的 75%以上),而且主要工作区的最大“过流面积”尽量大 (至少要达到外筒孔面积的85%以上),并且使“过流面积”

和内筒的旋转角度之间的“线性关系”尽量地好。请按此要 求设计内筒孔的形状。如果固井机的外筒孔也发生了程度较 轻的磨损，怎么办？

可以把两个圆柱筒展开成平面，即为两个长方形，筒的转动转化为 两个长方形的平动来思考，此时可将外筒孔近似看作圆孔。 把外圆柱孔展开图看成圆，与实际展开图形相比，存在一定误差， 称之为圆误差.考虑到求解的精度，对展开图的圆误差进行分析。0.18

从左图中看出，外洞孔展平看成圆孔还 是有比较大的误差。3

那么，上述处理是否存在问题？

实际上，展平看成圆孔是可行的。因为 决定水泥砂浆流量的是阀的瓶颈部分， 而瓶颈部分是外洞孔的最小截面，外洞 孔的投影即上述圆孔。需要注意的是，在求出内孔洞的形状后， 应该要将它返回到空间曲线上。

点接触？线接触？A C

lim Si' ( x) limx 0B D

Si ( x ) x 0 x

O 过 作弧线

,使得 CD

lAB l且 CD

AB // CD 。

设

围成的图形面积为 BA, AC, CD, DB 时， x Si ( 与 x)

Si1 (,则位移为 x) 0时，

;位移为 Si (0) Si1 (0) 0

0 Si ( x) Si1 ( x) Si1 ( 关系为： x) x弧长 与

BA, AC, CD, 围成的图形面积等于 DB

的乘积，即 ABlim l AB lim l AB 0x 0 x 0

Si1 ( x) lAB . x初始时刻，在点O的邻域

(O x, O x) 内，

O为唯一切入的点.又在O的邻域内,曲线

C1 ,则 连续

l AB . x Si1 ( x) Si1 (0) S (0) lim lim 0 x 0 x 0 x x' i1

又

0 Si ( x) Si1 ( x) Si ( x ) S ( x) lim i1 x 0 x 0 x x S ( x) Si (0) S ( x) Si1 (0) 0 lim i lim i1 x 0 x 0 x x 0 Si' (0) S i'1 (0) 0 lim

在位移为 x 0 处， Si' (0) 0 . 如果保持严格的线性，则过流面积不会

增加。所以内孔洞和外孔洞一定不是点接触，而是线接触。而且线接 触要达到一定的长度，才可能保证内孔洞长度比较小。

流量线性的评价函数为了建立评价阀流量与线性接近程度的函数，我们可以设想流量 是按阀的旋转角度进行的抽样，可以借用概率统计中对随机变量与常 数接近程度的评价思想，用绝对误差的数学期望和方差来评价。C1 位移的关系是： 在位移为 x 时，理想情况下“过流面积”与

. 它们 x 0, L .而设计得出面积变化关系为 S ( x) S0 ( x) x ( r 2 / L) , 之间的绝对线性误差是： ( x) S ( x) S0 ( x).所设计的内孔曲线的 评价函数应该表现为它与理想线性函数之间的误差之积分，则 函数构造为: Lc S ( x) S0 ( x) dx 0 D Lc 类似用方差来刻画误差波动的大小也可以构造一个刻画线性误差 Lc 度的函数，构造的函数为：

2 ( S ( x ) S ( x ) E ) dx 0 0 E Lc

目标函数此问题的本质显然是优化问题，因此最重要的是选择一 个恰当的目标函数。很多参赛队都选择线性化的程度作为 目标函数，对这个实际的问题是不全面的。正如命题人指 出的，目标还应该考虑内孔的总长度，否则总行程变长， 或者总旋转角超过一个圆周而不能用或者引起阀体的机械 强度下降，这些都是不符合实际要求的设计。 另外还需要 考虑是否容易磨损的问题,因为如果内孔洞的边界曲线在某 些点的曲率太大，那么很快就会磨损。

因此总的目标函数应该是线性化程度、内孔的总长度， 以及边界上最大曲率三者的加权。由此可见，若使用更多 节、更长的“拉杆天线”, 尽管线性化程度有所提高，但 是并不实用。

绝对线性变化的唯一形式引理 若使内孔旋转角度与“过流面积” 呈线性变化,则内孔曲线与 k 外孔圆的交点横坐标之差必为常数 k , 即 x3 3 x4 4 k 为过流面积 与内孔旋转角度呈线性的必要条件.

a图

b图

曲线为 f ( x) f x ,h 当曲线 证明:设内孔曲线任意向下移动 ,h 移动微元 dh 时,“过流面积”增加量 dS 由两边近似三角形和 平行四边形组成,如上图b所示,表示为:dS x2 x4

G( x) f ( x) h dh dx

x3

x1

G( x) f ( x) h dh dx dhdxx1 x2

若要使面积特性曲线满足线性关系,则只须使曲线的向下移动距离 与“过流面积”满足线性关系,即微元面积 dS 与 dh 有线性关系: dS kdh 曲线与圆的交点坐标x由G( x) f ( x)(表示 f ( x) 下降时的曲线)求得:i 1, 2

G( xi ) 1 xi2 f ( xi ) f ( xi ) h ,

G( xi ) 1 xi2 f ( xi ) f ( xi ) h dh , i 3, 4

整理上式得:

g2 ( h )

g4 ( h )

G( x) f ( x) h dh dx g ( h) G( x) f ( x) h dh dx g ( h) dhdx kdh1 2

g3 ( h )

g1 ( h )

其中 gi h 是由前式算出的 xi 关于自变量 h 的表达式,

上式对dh求导，g3、g4是dh的函数，x3、x4同时满足方程，得

x3 x4 k

可以证明只有满足内孔边界是两条水平的直线才可以实现 交点的纵坐标的差始终是常数；反之显然。证明如下： y kx b 2 2 2 x y r x2 k 2 x2 2bkx b2 r 2 0

求交点

bk b 2 k 2 (1 k 2 )(b 2 r 2 ) x k 2 1 b1k b12 k 2 (1 k 2 )(b12 r 2 ) y1 k b1 2 k 1 b2 k b2 2 k 2 (1 k 2 )(b2 2 r 2 ) y2 k b2 k 2 1

(b2 b1 )k [ b22 k 2 (1 k 2 )(b22 r 2 ) b12 k 2 (1 k 2 )(b12 r 2 )] y2 y1 b2 b1 k k 2 1

在b2-b1为常数时，若 k 0 ,上差式不

可能为常数，所以结论成立。

解决问题的两种思路(1)根据上面的结论，要保持线性 性，内孔洞的边界是两条平行直线， 但这是在过流面积没有任何减少的 情况下。如果过流面积有减少，那 么增加的一部分就用来补偿减少的 部分。

a

2a

3a

同时，过流面积要根据旋转角度的增加而线性增加，所以总的增 加面积要大于线性部分。故上图中的“台阶”有一个向前凸的形状。 当过流面积不再减少的时候，内孔洞的边界又是两条平行直线， 经过这几个“台阶”的扩展，内孔洞就可以完全覆盖外孔圆。 这里的遗留问题，一是可否通过补偿使得在“台阶”部分过流面 积的增加仍然是线性的；二是扩展到外孔圆的最上端及最下端时可否 仍然保持线性变化。

解决问题的两种思路(2)C

从实用的角度出发，不追求绝对 的线性化，只要将线性化的误差控 制在一个很小的工程上可以接受的 范围内。A B

首先为了扩大思路，可以不要求内孔洞是对称的(对称是不对称的 特例)。所以可先确定内孔洞的形状，再来确定其中的参数，最终决 定内孔洞边界的方程。根据思路1猜测，内孔洞的切入部分应该与圆的下面部分相吻合， 而为了扩大过流面积，曲线需向上延伸，到了最后则应包含整个外孔 圆。所以开始段可能是二次曲线，中间段严格单调上升(初始可取直 线代替),最终段与外孔圆相当。

过流面积有减少时如何进行补偿？前面已经遇到过流面积单纯增加，以及有增加亦有减少的情况。有 减少时一定要进行补偿。

Δs1 CB AE D

Δs2 t2 t1 C' B' a 2a A'

当由点A向点C位置移动时，其实是弧线AD平移至CE,故过 流面积的减少可以看作弧线所扫过面积的减少(面积是线的积 分),因此补偿的时候可按照弧的长度来进行补偿。

又因为过流面积是内孔圆与外孔圆相交的部分，补偿的部分 必须在外孔圆的里面，所以应该按照外孔圆的边界来补偿，补 偿的长度等于退出弧线的长度。 如果这个办法一定可以实现，那么“拉杆式天线”的思路就 能够满足绝对线性化。可惜的是，我们可以证明一定有无法补 偿的部分，主要问题是在外孔圆的最上端和最下端。所以， “过流面积”与内筒旋转角度成严格的线性关系是不可能的。

泛函分析模型选取极特殊的内筒孔形状无法得到较理想的面积特性曲线,为更精 确地逼近线性面积特性曲线,引入最小二乘法思想,建立泛函极值模型, 通过残差平方和是否达到最小,来判断面积特性曲线是否最优. 为使“过流面积”最大,内孔曲 线形状的上半部须全部与外孔上半 圆相交(见图中阴影部分重合),故 假设内孔曲线形状上半

部分为半圆, 而其余部分的形状未定,为简化计算, 可假定内孔曲线形状的右半部分为 直线,进一步假定是一条竖直线,根 据以上分析内孔曲线形状大致可取 如右图中的粗实线形状,这样只需确 f ( x) 定图中的曲线 形状即可.