维修线性流量阀时的 内筒设计问题——2006研究生数学建模竞赛C题

油田采油用的油井都是先用钻机钻几千米深的孔后，再 利用固井机向四周的孔壁喷射水泥砂浆得到水泥井管后形成 的。固井机上用来控制砂浆流量的阀是影响水泥井管质量的 关键部件，但也会因磨损而损坏。目前我国还不能生产完整 的阀体，固井机仍依赖进口。由于损坏的内筒已经被磨损得 面目全非，根本无法测绘出原来的形状，因此维修时只能根 据工作原理并结合阀的结构进行设计。根据仪表刻度可知控制流量的阀是一个线性阀，即阀体 的旋转角度与砂浆流量成正比。在设计分析中假设砂浆的压 力恒定，进而流量与“过流面积“(严格定义见下文)成正 比，因此阀体的旋转角度应该与“过流面积“成正比。

一般来讲，控制流量的阀体为两个同心 圆柱筒(两筒直径大致相等)。外筒固定， 它的侧面上有一个孔，形状为两个直径不等 (相差至少3、4倍以上)的圆柱体的交线 (见示意图，孔的形状可能由于输出水泥砂 浆的管道是圆柱形的和磨损方面的考虑而取 上述形状)。内筒和外筒轴向之间没有相对 运动，内筒可以自由转动。内筒的侧面上也 有一个孔，它原来的形状未知(维修的任务 就是设计内筒孔的形状),砂浆可以从两个 孔的相交部分即“过流面积”流过。显然 “过流面积”不能超过外筒孔的面积。现在 数控机床比较普及，只要知道曲线的形状就 可以在维修所需要的内筒上加工出合适的孔。 当然从实际加工角度考虑，内筒孔的形状也 不宜太复杂。

可以把两个圆柱筒展开成平面，即为两个长方形，筒的转 动转化为两个长方形的平动来思考，此时可将外筒孔近 似看作圆孔。

(1)讨论在上述阀体结构下，在“过流面积”从为零直到外筒孔面积的范围(简称“最大范围”)内，能否通过 选择内筒孔形状实现“过流面积”与内筒旋转角度成严

格的线性关系。如果不能，请设计内筒孔的形状，在“最大范围”内，使“过流面积”与内筒旋转角近似成 线性关系，同时在“最大范围”内，实际情况与严格线

性关系的误差在某种意义下最小。

(2)实际上，固井机向孔壁喷射水泥砂浆时经常采用的“过流面积”是在一个稍小的范围内，被称为主要工作区， 它是 “最大范围”中的一段。因此，在维修固井机内筒时，

比较令人满意的内筒孔形状应该使主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间尽量长(至少达“最大范围”区间长度的 75%以上),而且主要工作区的最大“过流面积”尽量大 (至少要达到外筒孔面积的85%以上),并且使“过流面积”

和内筒的旋转角度之间的“线性关系”尽量地好。请按此要 求设计内筒孔的形状。如果固井机的外筒孔也发生了程度较 轻的磨损，怎么办？

可以把两个圆柱筒展开成平面，即为两个长方形，筒的转动转化为 两个长方形的平动来思考，此时可将外筒孔近似看作圆孔。 把外圆柱孔展开图看成圆，与实际展开图形相比，存在一定误差， 称之为圆误差.考虑到求解的精度，对展开图的圆误差进行分析。0.18

从左图中看出，外洞孔展平看成圆孔还 是有比较大的误差。3

那么，上述处理是否存在问题？

实际上，展平看成圆孔是可行的。因为 决定水泥砂浆流量的是阀的瓶颈部分， 而瓶颈部分是外洞孔的最小截面，外洞 孔的投影即上述圆孔。需要注意的是，在求出内孔洞的形状后， 应该要将它返回到空间曲线上。

点接触？线接触？A C

lim Si' ( x) limx 0B D

Si ( x ) x 0 x

O 过 作弧线

,使得 CD

lAB l且 CD

AB // CD 。

设

围成的图形面积为 BA, AC, CD, DB 时， x Si ( 与 x)

Si1 (,则位移为 x) 0时，

;位移为 Si (0) Si1 (0) 0

0 Si ( x) Si1 ( x) Si1 ( 关系为： x) x弧长 与

BA, AC, CD, 围成的图形面积等于 DB

的乘积，即 ABlim l AB lim l AB 0x 0 x 0

Si1 ( x) lAB . x初始时刻，在点O的邻域

(O x, O x) 内，

O为唯一切入的点.又在O的邻域内,曲线

C1 ,则 连续

l AB . x Si1 ( x) Si1 (0) S (0) lim lim 0 x 0 x 0 x x' i1

又

0 Si ( x) Si1 ( x) Si ( x ) S ( x) lim i1 x 0 x 0 x x S ( x) Si (0) S ( x) Si1 (0) 0 lim i lim i1 x 0 x 0 x x 0 Si' (0) S i'1 (0) 0 lim

在位移为 x 0 处， Si' (0) 0 . 如果保持严格的线性，则过流面积不会

增加。所以内孔洞和外孔洞一定不是点接触，而是线接触。而且线接 触要达到一定的长度，才可能保证内孔洞长度比较小。

流量线性的评价函数为了建立评价阀流量与线性接近程度的函数，我们可以设想流量 是按阀的旋转角度进行的抽样，可以借用概率统计中对随机变量与常 数接近程度的评价思想，用绝对误差的数学期望和方差来评价。C1 位移的关系是： 在位移为 x 时，理想情况下“过流面积”与

. 它们 x 0, L .而设计得出面积变化关系为 S ( x) S0 ( x) x ( r 2 / L) , 之间的绝对线性误差是： ( x) S ( x) S0 ( x).所设计的内孔曲线的 评价函数应该表现为它与理想线性函数之间的误差之积分，则 函数构造为: Lc S ( x) S0 ( x) dx 0 D Lc 类似用方差来刻画误差波动的大小也可以构造一个刻画线性误差 Lc 度的函数，构造的函数为：

2 ( S ( x ) S ( x ) E ) d …… 此处隐藏：2824字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……