故小艇与轮船不可能在A，C之间（包含C）的任意位置相遇。

设 COD (0 90 )，则在Rt COD中，CD 103tan ，OD 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 t

103

cos

10 103tan 103

和t

30vcos 10 103tan 103

30vcos

所以，

由此可得，v

153

sin( 30)

3 2

又v 30，故sin( 30 ) 从而，30 90

由于 30 时，tan 取得最小值，且最小值为

3 3

于是，当 30 时，t

10 103tan 2

取得最小值，且最小值为

303

解法三：

（I）同解法一或解法二

（II）设小艇与轮船在B处相遇。依据题意得： vt 400 900t 2 20 30t cos(90 30)， （(v 900)t 600t 400 0

（1） 若0 v 30，则由

2

2

22

2

360000 1600(v2 900)

=1600(v 675) 0 得v 153

2

300 20v2 675

从而，t ，v [153,30)

v2 900 300 20v2 675

① 当t 时， 2

v 900

v 153时等号成立。

300 20v2 67524

②当t 时，同理可得 t

33v2 900

由①、②得，当v [153,30)时，t （2） 若v 30，则t

2 3

2 3

2

3

综合（1）、（2）可知，当

v 30时，t取最小值，且最小值等于

此时，在 OAB中，OA OB AB 20，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东

30 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。 20.本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。满分

14分。 解法一：

（Ⅰ）（i）有f(x)=x3-x得f’(x)=3x2

当x

( ,和， )时，f’(x)>0; 当x ()时，f’(x)<0。

（ⅱ）曲线C在点P1

处的切线方程为

y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1， 即y=(3x12-1)x-2 x13.

由

得x3-x=(3x12-1)x-2 x13 即（x-x1）2(x+2x1)=0, 解得 x=x1或x=-2x1, 故x2=-2x1.

进而有