时等号成立，故V1 2r

而圆柱的体积V r2 2r 2 r3，

3

V12r31

故p ，当且仅当sin2 1即 45 时等号成立。 3

V22 r

所以，p的最大值等于 （ii）同解法一

解法三：

（I）同解法一

（II）（i）设圆柱的底面半径r，则AB AA1 2r，故圆柱的体积V r2 2r 2 r3 因为p

1

V1

，所以当V1取得最大值时，p取得最大值。 V

又因为点C在圆周上运动，所以当OC AB时， ABC的面积最大。进而，三棱柱

1

ABC_A1B1C1的体积最大，且其最大值为 2r r 2r 2r3

2

1

故p的最大值等于

（ii）同解法一

19.本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，绿茶推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、英语意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。 解法一：

（I）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 S

900t2 400 2 30t 20 cos(90 30 )

2

=900t 600t 400 =900(t ) 300

13

2

故当t

1031

303 时，Smin 103，此时v 13

3

即，小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。 （II）设小艇与轮船在B出相遇，则

v2t2 400 900t2 2 20 30t cos(90 30 )

600400

2 tt

600400

0 v 30， 900 2 900

tt

232

即2 0，解得t

t3t2

又t 时，v 30

3

2

故v 30时，t取最小值，且最小值等于

3

此时，在 OAB中，有OA OB AB 20，故可设计寒星方案如下：

故v2 900

航行方向为北偏东30 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇 解法二：

（I）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北

方向。

设小艇与轮船在C处相遇。

在Rt OAC中，OC 20cos30 103，AC 20sin30 10 又AC 30t，OC vt

此时，轮船航行时间t

101

，

303

v

103

303 13

即，小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。

（II）猜想v 30时，小艇能以最短时间与轮船在D出相遇，此时AD DO 30t 又 OAD 60 ，所以AD DO OA 20，解得t 据此可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇 证明如下：

如图，由（I）得OC 103，AC 10，

故OC AC，且对于线段AC上任意点P,

有OP OC AC 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，

2 3