数字图像处理及MATLAB实现 杨杰主编

数字图像处理

武汉理工大学 信息学院

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第4章图像变换(Image Transform)4.1 连续傅里叶变换 4.2 离散傅里叶变换 4.3 快速傅里叶变换 4.4 傅里叶变换的性质 4.5 图像傅里叶变换实例 4.6 其他离散变换

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一、 图象变换的引入 1. 方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。 2. 目的：有利于加工、处理[滤除不必要信息(如噪声), 加强/提取感兴趣的部分或特征]。 二、 方法分类 可分离、正交变换: 2D-DFT , 2D-DCT , 2D-DHT, 2D-DWT 。

三、 用途1.提取图象特征(如):(1)直流分量：f(x,y)的平均值=F(0,0); (2)目标物边缘：F(u,v)高频分量。 2.图像压缩：正交变换能量集中，对集中(小)部分进行编码。 3.图象增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化边缘。

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4.1 连续傅里叶变换(Continuous Fourier Transform)1、一维傅立叶变换及其反变换

: : 1

F (u )

f ( x) e

j2 ux

dx

f ( x) F (u ) e j2 ux d u

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4.1.1 连续傅里叶变换的定义 (Definitionof Continuous Fourier Transform) 这里 f x 是实函数，它的傅里叶变换 F u 通 F 常是复函数。 u 的实部、虚部、振幅、能量和 相位分别表示如下： 实部 R u f t cos 2 ut dt (4.3) 虚部 I u f t sin 2 ut dt (4.4) 振幅 1 F u R2 u I 2 u 2 (4.5)

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4.1.1 连续傅里叶变换的定义 (Definition of Continuous Fourier Transform)

能量 相位

E u F u R2 u I 2 u 2

(4.6)

(4.7) 傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。 设函数 f x, y 是连续可积的，且 f u, v 可积，则存 在如下的傅里叶变换对：

I u u arctan R u

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4.1 连续傅里叶变换的定义 (Definition ofContinuous Fourier Transform)F f ( x, y ) F (u, v)

f ( x, y) e

j2 ux vy

d xd y

(4.8)F 1

F (u, v)

f ( x, y )

F (u, v) e

j2 ux vy

dudv

(4.9) 式中 u、v是频率变量。与一维的情况一样， 二维函数的傅里叶谱、能量和相位谱为:

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4.1 连续傅里叶变换的定义 (Definition of Continuous Fourier Transform)

傅里叶频谱： 1 F u, v R2 u, v I 2 u, v 2

(4.10)

相位：

I u, v u, v arctan R u, v

(4.11)

能量谱：

E u, v R2 u, v I 2 u, v

(4.12)

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4.2 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)函数 f x 的一维离散傅里叶变换由下式定义：

u f x e j 2 ux / N :Fx 0

N 1

(4.

13)

其中， 0,1,2,...,N 1。 u 的傅里叶反变换定 F u 义为： (4.14) 1 N 1 1 : f x F u e j 2 ux / N N u 0

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4.2 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)

傅里叶频谱：F u R 2 u I 2 u

相位:

u arctanI u / R u P u F u R2 u I 2 u 2

能量谱

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4.2 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)同连续函数的傅里叶变换一样，离散函数的 傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离散 傅里叶变换定义为：1 F u, v NN 1 N 1

x 0 y 0

f x e j 2 ( ux vy) / N (4.16)

v 式中 u 0,1,..., N 1, 0,1,..., N 1。二维离 散傅里叶反变换定义为

1 f x, y N

N 1 N 1 u 0 v 0

F u, v e j 2 ( ux vy ) / N (4.17)

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4.2 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)式中 x 0,1,...,N 1 ,y 0,1,...,N 1 式中 u、v 是频率变量。与一维的情况一样， 二维函数的离散傅里叶谱、能量和相位谱为: 傅里叶频谱： F u, v 相位：R 2 u , v I 2 u, v

I u, v u, v arctan R u, v

能量谱：

P u, v F u, v R2 u, v I 2 u, v 2

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4.2 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)

例4.1一个简单二维函数的中心谱。 图4.1(a)显示了在 512 512 像素尺寸的黑色 背 景 上 叠 加 一 个 20 40 像 素 尺 寸 的 白 色 矩 形 。

图4.1(a)

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4.2 离散傅里叶变换(Discrete FourierTransform)此图像在进行傅里叶变换的计算之前被乘以 1 x y 从 ，

而可以使频率谱关于中心对称，如图4.1(b)所示。在图 4.1(b)中， 方向谱的零点分割恰好是 v 方向零点分隔的 u 两倍。

(a) (b) 图4.1(a)在大小为 512 512 黑色背景上叠加一个尺寸为20 40 的白 色矩形的图像， (b)应用了对数变换后显示的中心傅里叶谱

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4.2 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)

符合图像中1 : 2 的矩形尺寸比例(遵照傅里叶变 换4.4.6节的尺度变换性质)。在显示之前频率 谱用式(对数处理见前章3.2.2)中的对数变换 处理以增强灰度级细节。变换中使用 c 0.5 的值 可以降低整体强度。在本章显示的多数傅里叶频 率谱都用对数变换进行了相似的处理。

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4.2 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)例4.2图象的二维离散傅立叶频谱。 %读入原始图象 I = imread(‘i_peppers_gray.bmp’); imshow(I) %求离散傅立叶频谱 J = fftshift(fft2(I)); %对原始图象进行二维傅立叶变换，并将其坐标原 点移到频谱图中央位置 figure(2); imshow(log(abs(J)),[8,10]) 其结果如图4.2所示

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4

.2 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)

(a)原始图像 (b)离散傅里叶频谱 图4.2 二维图像及其离散傅里叶频谱的显示

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4.3 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新的变换， 它是离散傅里叶变换(DFT)的一种算法。这种方 法是在分析离散傅里叶变换(DFT)中的多余运算 的基础上，进而消除这些重复工作的思想指导下 得到的，所以在运算中大大节省了工作量，达到 了快速的目的。

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4.3 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)对于一个有限长序列 f x 0 x N 1 ,它 的傅里叶变换由下式表示:F u WN eN 1

n 02 N

f x Wnuxj 2 N

(4.18)

令 因此，傅里叶变换对可写成下式N 1 x 0

j

,WN 1 e

u f x WNux F

(4.19)

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4.3 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)从上面的运算显然可以看出要得到每一个频率 分量，需进行 N 次乘法和 N 1 次加法运算。要完 成整个变换需要N 2次乘法和 N N 1 次加法运算。 当序列较长时，必然要花费大量的时间。 ux WN 是以 N 为周期 观察上述系数矩阵，发现 的，即 u LN x KN ux (4.21) WN WN