导数相关论文

第２０豢第ｌ期河南教育学院学报（自然科学版）Ｖ０１．２０Ｎｏ．１２０１１年３月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｍａｒ．２０１ｌｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—０８３４．２０１１．０１．００６

导数定义公式的一个推广及其应用研究

程万里１，刘讲军１，刘志红２，周永涛１，程银行３

（１．郑州交通学院基础部，河南部！｝１１４５００６２；２．郑州经贸学院计算机科学系，河南郑州４５００５８；

３．中国地质调查局天津地质矿产研究所，天津３００１７０）

（ａ（膏）－．ｏ，卢（善）枷），从而简化了有关导数定义一类问题的求解．摘要：将导数在某一点的定义厂（‰）＝：嘧丛苎二掣推广为厂（‰）＝ｌｉｍ匹兰立竺吾篆｝｝掣

，关键词：导数；定叉；无穷小；郐域’

中圈分类号：０１７２．１文献标识码：Ａ文章编号：１００７—０８３４（２０１１）０１—００１４—０２

１相关的足义与引理

定义１（导数定义）设函数Ｙ－－ｆ（算）在茗。的某邻域内有定义。若极限

＋ｌｉｍ掣：ｌｉｍ丝立掣丛生Ａｌ—．ｏ△茗ｍｏ）－．１ｉ。ｍ盟掣．Ａｚ－－，Ｏ△鼻

存在，则称八算）在‰处可导，并称这个极限值为以互）在石。处的导数，记作厂（‰）．等价性定义为

（１）

（１）式中的ｈ可推广至ａ（苴）（注：此时ｄ（筇）－．０），即有如下引理成立．

引理１设函数Ｙ－－ｆ（童）在‰的某邻域内有定义，厂（‰）表示以髫）在量。处的导数，则

肌）＝。撬堕瓮苷型（２）

成立．

证明令出）－＾＇显加㈤卅骨＾枷’因此．。飘丛鼍掣＝ｌ。ｉ卅ｒａ丛掣训¨．故弓Ｉ理得证．

口（１）—．ｏａＩ石Ｊ＾—．０厅

２式（２）推广及其证明

定理ｌ设函数，，＝，（置）在茹。的某邻域内有定义，厂（‰）表示八算）在‰处的导数，ｎ（＃）、卢（ｘ）均为无穷小，ｆ１．ｔｈｎ鲁浩＝ｃ（ｃ≠１）。剐

（３）

ｌｉｍ『４譬竺堂ｊ挚上一坐哮掣掣１．ｉｉＥｌ骧ｌ ｉｍ盟篙景茅型＝－ｉｍ盟坐坠糍瓮铲坠型他川ｉｍ堕篙豢掣

ｎｍ【—ｉ两了而丁一一—ｉ两ｉ瓦丁一Ｊ‘（４）”７

若ａ（算）、口（ｘ）其中一个为Ｏ，则为引理１的情形，结论是成立的；若ａ（石）４Ｋｘ）均不为０。则分子分母可除以口（善），卢（善）得（４）式＝ｌｉｍＩ『九茸。＋ａ（鼻）】一，（‰）九‰＋卢（茗）］一八‰）！！苎２一旦！兰２

ｍ舢ｍ【揣一揣】＝ｍＡ【１一口（ｘ）／ａ（ｘ）口（毒）／口（并）一１训¨．ｉｍ［≤南一涮丽］＝

综上，定理１得证．

３定理的应用

倒ｌ【１１设函数八鼻）在善＝ｌ处可导，且厂（１）“．求ｌ，ｉ卅ｍ丛上二生乞』坐二生．

收稿日期：２０１０—１１—２３作者简介：程万里（１９７９一），男，河南商丘人．郑州交通学院基础部教师．