试验设计与最优化课件

第四节 多因素正交试验设计与方差分析

正交试验设计是利用正交表安排试验的一种科学 的试验设计方法，它既可减少试验次数，又能进 行较全面的比较，达到选取良好试验条件的目的。 一、正交表 正交表是一种特殊的表格，记作L表示正交表； n表示正交表的行数，也是试验次数； r表示正交表的列数，也是最多可安排的因素个数； p表示正交表中出现的数码的个数， 也是各因素的水平数。Ln ( p r )

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L8 ( 2 7 )

列试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 2 2 1 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2

号5 1 2 1 2 2 1 2 1 6 1 2 2 1 1 2 2 1 7 1 2 2 1 2 1 1 2

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L9 ( 3 4 )

列试验号 1 2 3

号4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 2 3 1 3 1 2

1 2 3 3 1 2 2 3 1

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正交表具有如下两个特点： (1) 表中任一列，不同数字出现的次数相同， 表明了正交表的均衡性。 (2) 表中任何两列同一行的两个数字组成的所有可 能数对出现的次数都相同。表明了正交表的正交性。 因为正交表具有以上两种性质，所以，安排的试验具 有均匀分散，整齐可比性。

二

正交试验设计的步骤(1) 明确试验目的，选定试验指标。 (2)挑选因素和水平。凭借专业知识和实践经 验，选择对指标可能有一定影响的因素及各因 素比较合理的水平。

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(3)选用正交表，作表头设计。首先根据水平的 个数选择正交表，并使其列数略多于因素个数。正 交表中不安排因素的列称为空白列，空白列在方差 分析中称为误差列，表头设计时，一般至少都要留 一列作空白列。 如果要考虑因素间的交互作用时，交互作用也 应作为独立因素计算。必须把因素安排在适当的列 上，然后借助于与正交表匹配的两列间交互作用表， 确定因素的交互作用列。 如果不考虑交互作用，可分别把各因素安排在表头 的列上，其下面的数码就是该列因素所应取的试验 水平。如果表头空列多的话，也应留出交互作用列。

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例如：要安排一个4因素2水平的试验，若不考虑交互 7 L ( 2 作用，可选用表， 8 ) 并将A,B,C,D,4个因素 分别置于表1,2,4,7列上； 若要考虑A×B,A×C, 将A,B,C,D安排在1,2,4,7列， 并由两列间交互作用表知A×B在第3列，A×C在第5列。 列 试验号 号

1 A

2 B

3 A×B

4 C

5 A×C

6

7 D

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L8 ( 27 ) 两列间交互作用表

列列号 1 (1) 2 3 (2) 3 2 1 (3)

号4 5 6 7 (4) 5 4 7 6 1 (5) 6 7 4 5 2 3 (6) 7 6 5 4 3 2 1 (7)

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(4)按正交表的安排方案进行试验，并记录试验结果。 正交表中的数字为因素所取水平。 三、正交试验结果的分析 1.直观分析法 用直观分析法分析试验结果。 (a) 计算各因素水平的综合平均值及极差 。 以因素A为例 , 用

I 1 表示包含1水平的4个试验结果之 和。用 II1 表示包含2水平的4个试验结果之和。 平均值 I1 I 1 和 1 ,41

4

称为 A1 和 A2水平下的综合平均值。 综合平均值越大，水平越优，由综合平均值的大小 选取各因素的最佳水平组合，各因素最优水平组合 在一起就是最佳试验方案。

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(b )因素水平中最大的综合平均值与最小的综合平均值 之差称为因素的极差。 用 R j 表示第 j 列因素的极差，因素A的极差。R1 1 I 1 80 78 2

极差的大小反映了因素对指标影响程度。因素极差越大， 说明因素的水平改变对试验结果影响也越大，比较极差大 小来排定因素影响的顺序，本例 R4 最大，故因素C对试 验结果影响最大，其次是A和B,最后是D,即A C D B

( C )若需要考虑因素间的交互作用 A×B, A×C, B×C 。 交互作用按 的两列间交互作用表置于3,5,6列 ， 把交互作用作为因素来看待，计算极差与综合平均值。 L8 (2 7 )

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各因素及其交互作用对试验结果影响大小的次序为:

A A C A B C D B B CA×B 是影响试验结果最重要的因素，而 A×B 的试验 结果是A与B相互搭配产生的，所以，只能通过两因素 各种水平搭配下试验的平均结果来决定最佳搭配。 直观分析法简单，直观，计算量较少。便于普及 和推广，是一种较好的分析方法。但它不能区别试验 结果的差异是由因素水平的改变所引起的还是试验的 随机波动所引起的。为解决这个问题，需要对试验结 果做方差分析。

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2 方差分析法 (1) 总离差平方和的分解：例1中有8次试验，结果为。 则总离差平方和为：SS T ( yi y ) ,2 i 1 8

1 8 y yi 8 i 1

SST ( yi y ) 2 ,i 1

n

1 n y yi SST 的分解公式为： n i 1

SST SS1 SS 2 SS r其中 SS j ( j 1 , 2, , r )

是正交表 Ln ( p r ) 中第 j 列因素的离差平方和。

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(2) 计算各因素离差平方和： y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 SS1 SS A 4 y 4 y 4 4 I1 1 4 y 4 y 4 4 I 12 2 I 1 1 4y 1 8y2 4 2 I 12 2 1 16 y 2 8 y 2 4 I 12 2 1 8y2 4 I 1 yi 4 8 i 1 2 1 2 1 8 2 2 2 2 2

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对于任何2水平的正交表，一般有： yi 2 2 I j j i 1 SS j m nn 2

其中m 表示第 j 列中数码“1”出现次数。n为试验总数。 若各因素取3水平时 yi 2 2 2 I j j III j i 1 SS j m nn 2

其中 m 为第 j 列上数码“1”出现次数，n 为试验总数。

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(3)计算 F 值，进行 F 检验。

F

SS j df j SS E df E

(4) 选取最佳试验方案 。 注意以下几点： 1 两因素交互作用的自由度等于两因素的自由度之 积，这样，有时交互作用不止占有一列。 2 误差平方和的自由度等于所占空白列的自由度之 和，对结果影响不显著的因素的离差平方和可合并 到 SS E 中去，以提高精确度。

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3 当试验各个因素所取水平数不全相同时，必须 r s 用混合正交表。通常用 L ( p q ) 表示n

这里 n 为试验总数，p , q为两种不同的水平数， r,s为其相应水平的列数。 混合正交表的试验设计与分析方法与前面相同。