25《小学奥数六年级竞赛必考章节精讲共36讲·小升初必备》-第25讲数论综合

时间：2025-05-04

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第25讲数论综合2

内容概述

进位制的概念、四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化，利用恰当的进位制解数论问题．取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本性质，包含这两种符号的算式与方程的求解．两次与分式不定方程，不便直接转化为不定方程的数论问题．各种数论证明题．

典型问题

1．算式1534×25=43214是几进位制数的乘法?

【分析与解】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4×5=20，但是现在为4，说明进走20－4=16，所以进位制为16的约数：16、8、4、2．

因为原式中有数字5，所以不可能为4,2进位，而在十进制中有1534×25=38350＜43214，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．

2．求方程19[x]－96{x}=0的解的个数．

【分析与解】有{x}为一个数的小数部分，显然小于1，则96{x}小于96，而19[x]=96{x}，所以19[x]小于96，即[x]小于

应有6组解．

进一步计算有0，196，又[x]为整数，所以[x]可以取0，1，2，3，4，5，对191919199596，23，45为原方程的解． 4832249619

3．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．

【分析与解】设这个四位数为abcd m………………………………… ① 每位数字均加3，并且没有进位，为 (a+3)(b+3)(c+3)(d+3) n …………………………………………………② 有②－①得：3333=n m=（n－m）(n+m) ………………………………③ 将3333分解质因数，有3333=3×11×101，其有(1+1)(1+1)(1+1)=8个约数，但是有n+m＞n－m，所以只有4种可能满足题意，一一考察，如下表： 2222

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如上表，只有1156，4489满足，即原来这个四位数为1156．

1表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案． 6

1112【分析与解】设有，化简有(a－6)(b－6)=6=2×2×3×3，

ab64．将

评注：形如

111 (t为己知常数)的解法及解的个数． ABt111 (t为已知常数)类问题，可以通过计算，转化为(A－t)×(B－t)= t2； ABt

22 我们t将分解质因数后，再令(A－t)其中一个为t的一个约数(A－t)=a，那么A=a+t，t2

则B= t (t为已知常数)， a

A a t 所以，一般公式为 (a为t的一个约数)； t2

B ta

设t的约数有x个，则A、B有2x+1组(调换顺序算一种)． 2

注意有一组解A、B相等，就是

A 2t. B 2t

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5．在给定的圆周上有2000个点．任取一点标上数1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，在第2个点上标上数2；从标有2的点再往后数3个点，在第3个点上标上数3；……；依此类推，直至在圆周上标出1993．对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数．问标有数1993的那个点上标的最小数是多少?

【分析与解】记标有1为第1号，序号顺时针的依次增大．当超过一圈时，编号仍然依次增加，如1号也是2001号，4001号，……

则标有2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是1+2+3+4，…，标有1993的是1+2+3+…+1993=1987021号．

1987021除以2000的余数为1021，即圆周上的第1021个点标为1993．

那么1021+2000n=1+2+3+…+k=k(k 1)，即2042+4000n=k(k+1). 2

当n=0时，k(k+1)=2042，无整数解；

当n=1时，k(k+1)=6042，无整数解；

当n=2时，k(k+1)=10042，无整数解；

当n=3时，k(k+1)=14042，有118×119=14042，此时标有118；

随着n的增大，k也增大．

所以，标有1993的那个点上标出的最小数为118．

6.有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的1．求所有这样的三位数． 3

【分析与解】设这个三位数为abc，数字和为a+b+c，如果没有进位，那么abc 3 ab(c 3)，显然数字和增加了3，不满足，所以一定有进位，