基于偏微分方程的图像修复算法的性能评估

基于偏微分方程的图像修复算法的性能评估

0. 引言

图像修复是指利用图像的已知信息来填充待修复区域内已经丢失或破损的信息，从而得到完整图像，使修复后的图像接近或达到原图的视觉效果。图像修复技术可以安全有效地数字化恢复损坏的艺术作品，并可去除图像中的文字或者其他不期望的物体。此外，图像修复技术还可以应用于视频点播，对网络传输中丢弃或者损坏的视频信息进行修复以改善观看质量。

直观上，图像修复就是根据丢失块周围的形状、纹理、颜色等信息对丢失块按照一定的规则填补。从数学的角度来看，图像修复就是在观察到的图像数据和图像的生成模型的约束下求最优估计的问题，用Euler公式就可以得到一个偏微分方程，求解这个偏微分方程即可得到恢复的图像，求解偏微分方程的过程就是把待修复区域周围的信息向待修复区域扩散的过程。但是图像修复是一个病态问题，因为没有足够的信息可以保证能唯一正确地恢复被损坏部分。

常见的基于偏微分方程的图像修复模型有热传导模型和PM修复模型等，本文将主要对这两种模型的性能进行评估和对比。

1. 理论基础

1.1. 热传导模型

令图像中的缺损区为 ，其边界为 。我们将图像修复看成 周围有效像素中所包含的信息向 内部传播的过程。为了简化问题，我们采用均匀介质 中的热传导模型，将图像类比于一个温度场，像素的灰度值就是温度，杀损区的灰度改变可看作外部热源传人引起的“热量”增加。考虑图1-1所示一维热传导过程，其物理基础是热传导满足的Fourier定律，q(x,t)是单位时间通过单位长度的热量，它与温度u 的下降率成正比，导热系数为k ：

1

图1-1 一维热传导过程

则有

q(x,t) lim[k x 0u (u u) u(x,t)] k x x 1-1

推广到二维情况下有：

u x,y,t u x,y,t t u x,y,0 u x,y

解之得： 1-2

2 2 1xy u x,y u x,y,t exp 4t 4 t 1-3

由式1-3可知，利用热传导方程对图像进行修复的过程就是对该图像进行高斯低通滤波的过程，t 越大，滤波器的带宽越小，滤波后的图像和原始图像的区别越大，而t越小，该滤波器的带宽越大，滤波后的图像就越接近于原始图像。

将u x,y,t 关于t在t 0附近按照Taylor级数展开得：

u x,y,t u x,y,t u x,y,0 t t t 0

u x,y t u x,y 1-4

对于二维离散数据形式的数字图像，式1-4中的Laplace算子可以模版代替。由此可得到热传导模型的递推公式为：

1(n)(n)(n)(n)un 1(i,j) u(n)(i,j) [Gx(i 1,j) Gx(i 1,j) Gy(i,j 1) Gy(i,j 1)]2

1(n)Gx(i,j) [u(n)(i 1,j) u(n)(i 1,j)] 2

1(n)Gy(i,j) [u(n)(i,j 1) u(n)(i,j 1)] 2 1-5

在热传导模型中，由于Laplace算子是各向同性的，标准热传导是一个各向同性的扩散过程，它会对图像的边缘和非边缘区域进行同样的平滑。热传导方程的解实际上就是高斯滤

2

波函数，高斯滤波不能保留图像的自然边缘，在各个不同的尺度下，图像的边缘总是在移动，偏离自然的位置。

1.2. PM模型

PM模型是改进的热传导偏微分方程，Perona和Malik分析了标准热传导模型的缺陷，于1987年首次提出了各向异性扩散模型，PM模型如下：设原始图像u x,y,0 u x,y 随时间t 演化为图像u(x,y,t) 的演化规则为

u t c x,y,t u , x,y,t 0,

u x,y,0 u x,y ,u(x,y) u 0,(x,y,t) 0, n 1-6

其中c x,y,t 是扩散函数，要求c x,y,t 是这样的一个函数：在边缘内部的区域远离0，图像可以平滑，而在边缘附近时，c x,y,t 0，此时图像不再被平滑，从而边缘会被保留。 可以利用梯度来大致区分边缘和非边缘区域，将 u较大的位置看为边缘而将 u较小的地方看作非边缘，可以取

c x,y,t g( u)，其中函数g( )为单调递减函数，且limg( ) 0 。常见的两个

g( u)如图1-2所示

图1-2 两种常见的g( u)函数 它们的表达式分别为：g( u) exp 1 u K

3 2 1-7

g2( u) 1 u 1 K 1 , 1-8

式1-7和1-8中的常数K 是一个很重要的参数，如果选择K接近于噪声形成的梯度幅度，则有利于去噪，在图像边缘增强过程中，选择K使其略小于边缘的梯度幅度，则有利于边缘增强。

类似于标准热传导方程，利用Taylor级数在0附近对t展开进行线性近似，然后利用Laplace算子的模板形式，可以得到PM算法的迭代形式如式1-9所示。

1nnnnnnnn n uin, j ui,j ci 1,j Sui,j ci,j 1 Eui,j ci 1,j Nui,j ci,j 1 Wui,j 1-9 其中：

Suin,j uin 1,j uin,j

Euin,j uin,j 1 uin,j

Nuin,j uin 1,j uin,j

Wuin,j uin,j 1 uin,j

确定迭代方式之后还需要确定一些参数，首先要确定一个合适的扩散函数，然后还要估计梯度阈值K，最后还要合理选择时间步长参数 。

只有梯度幅值大于参数K的像素才作为边缘信息被保留，而梯度幅值较小的低对比度边缘将被滤除。因此K的取值直接影响到各向异性扩散方法对图像的平滑去噪和细节保持能力。K越大，其平滑去噪的能力就越强，但是其保持细节的能力就会变弱；K越小，其保持细节的能力越强，但是平滑去噪的能力就越弱。

在迭代过程中，如果将K设为一个常数，实验结果并不好，原因在于：在对噪声图像进行平滑的各向异性扩散过程中，随着图像平滑程度的增加，其梯 …… 此处隐藏：2667字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……