数学：2[1].2.1《平面向量基本定理》课件(1)(新人教B版必修4)

平面向量基本定理

复习:⑴向量共线充要条件

有且只有一个实数λ ,使得b =λ a. 当 0 时， b 与 a 同向， 且 | b |是| a | 的 倍; 当 0 时， b 与 a 反向， 且 | b |是| a | 的| | 倍; 当 0 时， b 0 ,且 | b | 0 .2

向量b与非零向量a共线,

⑵向量的加法： b a共起点

bO

B

a bC

a a b

A

平行四边形法则 首尾相接

O

a

bA

B

三角形法则3

引入:问题：(1)向量a是否可以用含有e1、e2的式

子来表示呢？怎样表示？ (2)若向量a能够用e1、e2表示，这种表示是否唯一？请说明理由.

新课: 思考：一个平面内的两个不共线的向量 e1、 2 与该平面 e 内的任一向量 a 之间的关系. M C

e1

a

A

e2

如图 OC OM ON OM 1OA 1 e1 ON 2 OB 2 e2

O

N

B

OC 1 e1 2 e2 即 a 1 e1 + 2 e2

N

A

B C

e1

e2

a

O

如图 OC OM ON M OM 1OA 1 e1 ON 2 OB 2 e2

OC 1 e1 2 e2 即 a 1 e1 + 2 e2

a 1 e1 + 2 e2这就是说平面内任 一向量a都可以表示 成λ1e1 + λ 2 e 2的形式

平面向量基本定理如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那 么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一 对实数a1、a2,使 a a1e1 a2e2 说明：① e1、e2是两个不共线的向量； ② a是平面内的任一向量； ③ a1,a2实数，唯一确定.8

∵ OA OM ON

∴ 存 在 实 数 a1 , a2a a1e1 a2e2 .

使 OM a1e1 , ON a2e2 . 于 是

(存在性)

设存在实数 x,y 使 a xe1 ye2 ,只要证 a1 x 且 a2 y

(唯一性)

a1e1+a2e2=xe1+ye2, (x-a1)e1+(y-a2)e2=0

N

A

e2 O e1

M9

我们把不共线向量e1,e2叫做这一平面内 所有向量的一组基底，记为{e1,e2}, a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1,e2}的

分解式。

实例:例1. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交 于M,设 AB a , b ,试用基底{a,b} AD

表示 MA, MB, MC , MD

例 2. 已知A, B是l上任意两点，O是l外一点， 求证：对直线l上任一点P

,存在实数t,使 OP 关于基底{ OA, OB }的分解式为

OP (1 t )OA tOB.P

B O A12

根据平面向量基本定理，同一平面内任一 向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已 知可得

即 OP (1 t )OA tOB特殊地，令t=1 2

OP OA AP OA t AB OA t (OB OA), 点M是AB的中点，则

1 OM (OA OB) 2

例3.已知平行四边形ABCD中,M,N分别是 DC,BC的中点且 AM c, AN d ,用 c, d 表示 AB, AD .

解：设 AB a, AD b 4 2 1 a 3 d 3 c c b 2 a 4 2 1 b c d d a b 3 3 2

A

B

N

D M C

例4. 已知向量 e1 , e2 不共线， 如果向量 e1 e2 与 e e 1 2 解：由已知得 e 求λ . (e e ) 共线,1 e2 1 2所以 1

解得λ =±1.

1.在

练习: AD =

ABCD中，设AC = a,BD = b,则AB = a b 2D

a b 2

,

.(用a、 b来表示)C

A

B