一元线性回归模型的统计检验

§2.3 一元线性回归模型的统 计检验一、拟合优度检验 二、变量的显著性检验 三、参数的置信区间

回归分析 回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总 体的真实参数，或者说是用样本回归线代替总 体回归线。 尽管从统计性质 统计性质上已知，如果有足够多的重 统计性质 复 抽样，参数的估计值的期望(均值)就等 于其总体的参数真值，但在一次抽样中，估计 值不一定就等于该真值。 那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值 的差异有多大，是否显著，这就需要进一步进 行统计检验 统计检验。 统计检验 主要包括拟合优度检验 拟合优度检验、变量的显著性检验 拟合优度检验 显著性检验 及参数的区间估计 区间估计。 区间估计

一、拟合优度检验 拟合优度检验： 拟合优度检验：对样本回归直线与样本 观测值之间拟合程度的检验。 度量拟合优度的指标：判定系数 判定系数(可决 度量拟合优度的指标 判定系数 可决 系数)R2 系数 问题： 问题：采用普通最小二乘估计方法，已 经保证了模型最好地拟合了样本观测值， 为什么还要检验拟合程度？

1、总离差平方和的分解已知由一组样本观测值(Xi,Yi),i=1,2…,n 得到如下样本回归直线

Yi = β 0 + β 1 X i

y i = Yi Y = (Yi Yi ) + (Yi Y ) = ei + y i

如果Yi= i 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好 拟合最好。 拟合最好 可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。

对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离 差的平方和,可以证明：

记 TSS = ∑ yi2 = ∑ (Yi Y ) 2 ESS = ∑ yi2 = ∑ (Yi Y ) 2 RSS = ∑ ei2 = ∑ (Yi Yi ) 2

总体平方和( 总体平方和(Total Sum of Squares) ) 回归平方和( 回归平方和(Explained Sum of Squares) ) 残差平方和( 残差平方和(Residual Sum of Squares )

TSS=ESS+RSS Y的观测值围绕其均值的总离差 总离差(total variation) 总离差 可分解为两部分：一部分来自回归线 一部分来自回归线(ESS),另一部 一部分来自回归线 ， 分则来自随机势力(RSS)。 分则来自随机势力

在给定样本中，TSS不变， 如果实际观测点离样本回归线越近，则ESS在 TSS中占的比重越大，因此 拟合优度：回归平方和ESS/Y的总离差TSS 拟合优度：回归平方和ESS/Y的总离差TSS ESS/Y的总离差

2、可决系数R2统计量 、可决系数记 R2

ESS = TSS

RSS = 1 TSS

称 R2 为(样本)可决系数 判定系数(coefficient 判定系数( (样本)可决系数/判定系数 of determination)。 。 可决系数的取值范围 可决系数 取值范围：[0,1] 取值范围 R2越接近1,说明实际观测点离样本线越近，拟 越接

近1 说明实际观测点离样本线越近， 合优度越高。 合优度越高

在实际计算可决系数时，在 β 1 已经估计出后： ∑ x i2 R 2 = β 12 ∑ y2 i

在例2.1.1的收入 消费支出 收入-消费支出 收入 消费支出例中，xi2 (0.777) 2 × 7425000 ∑ R 2 = β 12 = = 0.9766 2 4590020 ∑ yi

注：可决系数是一个非负的统计量。它也是 可决系数是一个非负的统计量。 是一个非负的统计量 随着抽样的不同而不同。为此， 随着抽样的不同而不同。为此，对可决系数的统 计可靠性也应进行检验，这将在第3章中进行 章中进行。 计可靠性也应进行检验，这将在第 章中进行。

二、变量的显著性检验回归分析是要判断解释变量 解释变量X是否是被解释变 回归分析 解释变量 被解释变 量Y的一个显著性的影响因素。 在一元线性模型 一元线性模型中，就是要判断X是否对Y具有 一元线性模型 显著的线性性影响。这就需要进行变量的显著性 变量的显著性 检验。 检验。 变量的显著性检验所应用的方法是数理统计 学中的假设检验 假设检验。 学中的假设检验 计量经计学中， 计量经计学中，主要是针对变量的参数真值是 否为零来进行显著性检验的。 否为零来进行显著性检验的。

1、假设检验 、 所谓假设检验 就是事先对总体参数或总体分 假设检验，就是事先对总体参数或总体分 假设检验 布形式作出一个假设， 布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断 原假设是否合理， 原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否 有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设。 有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设 假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。 假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。 先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察 由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否 接受原假设。 判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易 判断结果合理与否，是基于“ 发生” 发生”这一原理的

2、变量的显著性检验 、

β1 ~ N ( β1 ,

∑x

σ2

2 i

)

t=

β1 β1 σ2

∑x

2 i

=

β1 β1 S β 1

~ t (n 2)

检验步骤： 检验步骤：(1)对总体参数提出假设 H0: β1=0, β1 S β 1

H1:β1≠0

(2)以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值t=

(3)给定显著性水平α,查t分布表，得临界值t α/2(n-2)

(4) 比较，判断 若 若 |t|> t α/2(n-2),则拒绝H0 ,接受H1 ; |t|≤ t α/2(n-2),则拒绝H1 ,接受H0 ;

对于一元线性回归方程中的β0,可构造如下t 统计量进行显著性检验：t= β0 β0 σ2

∑X2 i

2 i

n∑ x

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