2.5线性方程组有解的判定定理

利用方程组系数矩阵A和增广矩阵B的秩，可以很容易的看出线性方程组AX=b是否有解

1 齐次方程组定理2.10 设A是m n矩阵,则齐次线性方程组Ax=0 有非零解的充要条件是R(A)<n. 证明 必要性 用反证法 设方程组Am×nx=0有非零解。假设R(A)=n, 则在A中存在一个n阶非零子式D,使得D所对应 的方程组只有零解(克拉默法则),这与条件矛 盾，因此R(A)<n

充分性 设R(A)=r<n,则A的行阶梯形矩阵只含r个 非零行，从而行阶梯形矩阵所对应的方程组中有 n-r个自由变量。任取一个自由变量为1,其余自 由变量为0,由克拉默法则即可得到方程组的一个 非零解。

2.非齐次线性方程组有解的条件定 理 2.11 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax b 有 解 的

充 分 必 要 条 件 是 它 的 系 数 矩 阵 A与 增 广 矩 阵 B ( A b )的 秩 相 等 , 即 R ( A ) R ( A , b ).

证明

必要性

用反证法

设方程组Am×nx=b有解。假设R(A)<R(B),则B 的行阶梯形矩阵的非零行所对应的方程是矛盾方程 0=1,这与方程有解矛盾，因此R(A)=R(B).

充分性 设R(A)=R(B), 将B用初等行变换化为行阶 梯形矩阵。设R(A)=R(B)=r(r≤n),则B的行阶梯形矩 阵含r个非零行.将每个非零行的第一个非零元所 对应的未知量作为非自由变量，其余n-r个变量作 为自由变量，并令n-r个自由变量全为零，此时由 克拉默法则即可得到方程组的一个解。

当R(A)=R(B)=n时, 方程组没有自由变量，因而只 有唯一解；当R(A)=R(B)=r<n, 方程组有n-r个自 由变量，令它们分别等于c1,c2,…,cn-r,则可得到n-r 个参数c1,c2,…,cn-r的解，这些参数可以任意取值， 因此方程组有无穷多个解，并且这个含有n-r个参 数c1,c2,…,cn-r的解可以表示方程组的任意一个解， 我们称此解为方程组的通解。

例1

求齐次线性方程组 x1 x 2 x 3 x 4 0, 2 x1 5 x 2 3 x 3 2 x 4 0, 7 7 x2 3 x3 x4 0 x1

的通解. 解 对系数矩阵 A 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有 1 A 2 7 1 5 7 1 3 3 1 2 1 1 0 0 0 1 0 2 7 5 7 0 3 7 4 7 , 0

~

便得

2 x1 7 x 3 5 x2 x3 7

3 7 4 7

x4 , x4 .

令 x 3 c1 ,

x 4 c 2 可得

2 3 x1 7 c1 7 c 2 x 5 c 4 c 1 2 2 7 7

并由此得到通解 x1 x2 x3 x4 2 7 5 c1 c1 3 7 4 7 c2 c2

7 c1 c2

例2

解线性方程组 x1 2 x 1 x1 3 x1 x2 x3 4 x4 3 x5 0 x2 3 x3 5 x4 5 x5 0 x2 3 x3 2 x4 x5 0 x2 5 x3 6 x4 7 x5 0 1 2 A 1 3 1 1 1 1 1 3 3 5 4 5 2 6 3 5

1 7

解

对系数矩阵施 行初等行变换

1 0 ~ 0 0

1 1 2 2

1 1 2 2

4 3 6 6

3 1 1 0 ~ 2 0 2 0

0 1 0 0

2 1 0 0

1 3 0 0

2 1 0 0

R A r 2 , n 5 , n r 3 ,即方程组有无穷多解，

并有

x1 2 x3 x 4 2 x5 x 2 x3 3 x 4 x5

令则有

x 3 c1 , x 4 c 2 ,

x5 c3

x1 2c1 c 2 2c 3 x 2 c 1 3c 2 c 3

故原方程组的通解为

x1 x2 x3 x 4 x5

2c1 c 2 2c 3 c 1 3c 2 c 3 c1 c2 c3

令

x1 x2 x x3 x4 x 5

2 1 1 3 1 1 , 2 0 , 0 1 0 0

2 1 3 0 . 0 1

则原方程组的通解可写成为 x c 1 1 c 2 2 c 3 3 .

其中 c 1 , c 2 , c 3 为任意常数 .

x1 x 2 x 3 x 4 0, 例3 求解方程组 x 1 x 2 x 3 3 x 4 1 , x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1 2 .

解

对增广矩阵 B 施行初等行变换 : 1 0 1 1 1 B 1 1 1 3 1 1 1 2 3 1 2 1 1 0 1 1 2 ~ 0 0 1 2 1 2 , 0 0 0 0 0

可见 R ( A ) R ( B ) 2 , 故方程组有解 , 并有

x1 x 2 x 4 1 2 , 2 x4 1 2 . x3

取

x 2 k1 , x 4 k 2 , x1 k 1 k 2 1 2 , 2k 2 1 2 . x3

则

即有

x1 k 1 k 2 1 2 , x 2 k1 x 2k 2 1 2 3 x4 k2 .

例5 求下述方程组的解 x1 x 2 x 3 x 4 x 5 7, 3 x x 2 x x 3 x 2, 1 2 3 4 5 2 x 2 x 3 2 x 4 6 x 5 23 , 8 x 1 3 x 2 4 x 3 3 x 4 x 5 12 . 1 3 B 0 8 1 1 2 3 1 2 1 4 1 1 2 3 1 3 6 1 7 2 23 12

解

1 0 ~ 0 0

1 2 0 0

1 1 0 0

1 2 0 0

1 6 0 0

7 23 0 0

1 ~ 0 0 0

0 1 0 0

1 2 1 2 0 0

0 1 0 0

2 3 0 0

9 2 23 2 0 0

1 0 ~ 0 0

0 1 0 0

1 2 1 2 0 0

0 1 0 0

2 3 0 0

9 2 23 2 0 0

由 R A R B ,知方程组有解 .又 R A 2 , n r 3 ,

所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组1 9 x1 x 3 2 x 5 2 2 1 23 x2 x3 x4 3 x5 2 2