函数奇偶性在解题中的应用

维普讯 ht资p:/t/ww.cqwiv.cpom‘数教学通讯学) o2 o o第年8期(总 1第2 9 )期

庆重 3 3函奇数偶在解性中题应用的(苏江城盐院师中附 2 24 0 2 0) 曹方大本说明它

在解决某些貌似较难的学问题中的古缸 . 一数些应用.

利用函数4奇偶证性明等恒式’’ 一”一 4例 知，口已≠+-, w口≠ , r (∈ ) Z,且 t( ana + 3co 1 tf )。 t a+ il￣+∞卢+ 4o a t卢=,0求证 s: ni2 a sm+ lf4 c s 2oa c a s卢+ 4c o s卢 01利用数函奇偶解方程性(组)倒 1方程解：( x 33~ 4 ) ’4+ x 3 +一 4= 0 (求实只数)根解:原方程变可( 3为 x一 4) + (3x 4—=一( ) +)①令， ( z)= +z,易证， ( )奇函是数在且R上增函是，方数①就是程， 3(— 4 )=~, ( ):, (一 ) .由. (, )单调性的知3 x一4 。

证明已知式可变为( a n ta+3 c ot 1 f ) +(t an+口3 oc t 1f ) ( c一o pP+ c￣ o ) p,①令f ( a c) +:,易证 , )是奇函数且 R在单上调递增，式①即 f( a tna+3 c ot 1f )= (一 o )=, (一c a l卢 ) 所， t a以n￣￣+3 o a卢 t一=c t卢 o。即 t a - a+ 4 cot = 0 lf,+ = 即 3’+一 4=0 .此方程然显有根一为1 故原，方程

就(是一 )1 3 (x 3+ x+ 1) 0:.因为3+ 3+1=0无实，根以所= 1为原程方的实根.数= 0。所以 s i n n+4卢CO S a c￣ f l= ,0所以 s in as in lf+4 c os cao s卢+ c4o s lf= s i 2 an cos sa n i3+ 4( 2 co s 口一1 )co s卢+4 co￣s 2: si n a o c sa !s ln+ f 8 c os 2口‘:0 s= c 2oo a ( s n i s a n il f+4 c osa co 1￣ f ): 2(c o s a×00.2利用函奇偶性数求值电 i鼍 2设(—2 s3 n ix+4s i 2n x+ s5i nS

x) ’( 2+3s i x a+ 4 s i n2x一 5 s in 3 ) x=n7 o+ n l i s n+x a 2 is n 2x+…+ 42si ,口求+ln 5+ n 9 …+ (+2 4 1值的. :解令f ( x )=(2 — 3 si n x 4+s i nZ x 5 s+ n Six ) (+ 23 si n x+4s i n Z一x 5s i n3x ) = 1 2’+o1 2 ls nix+a 2 is 2 nx+…+

利用5数函偶奇性比大小较例已知z≠5O。 1 2 . O>且1,2 .≠1 试，比较l嘞 1(一 )与 x o l g (。 1+ )的大， J、 . I:设- r( )= l x g c (1 一 )一x l o g。 ( 1z+ )= l g0。

a 4.2 si n 42易证， ( )是 R的上函数偶，n 1故： 1 2 3=n 5 . . :1 2 4 l=0所以n+ln 5+1 2 9++…n 4:1 0.

3利用函数偶性证奇明不等式一

为因，(一 )=

证求<。

x…z0 )

o g l￣(尚 )一】 0g ( )口 x l= gc =., n若>1,由知已，有一<1<1且x/= O=,所以当一

( ),所，以 ( )是函数，偶象关图于轴Y称对.证设明， ( ):

<号 ( ≠ 0 ) N￣ k2 f (一 ) =:兰

互

:1—一4’ 2

1< < 0时， >挈 1所，以 l g。o> l go <.0, pl f( )< 0由图象，对称性的，知当0<<时，, (1 )< . 0故 l x g o。 ( 1一 )+=号[1一 ( 1 )】 王+2: 一 +号 一

互一2 , ( )’所以

< l o g。 1 (+ . ), z()是偶数函，图象关于 Y轴对，称因为当 0时>,1 矿O,<所以f x( ) O<所，以当<xO,时图由象对称性若 On<1<,同可得 l理 0 g ( d一1z>) l0 g a 1+( ).综上，当>1时 z口le g 1(一 < ) l 0g。 ( +z 1),当知, ( )< 0即， 号 (< o≠) 0<口< 1时。 l0 g 。(1一z )>x t l lg￣( +1 ) .