高二希望杯数学竞赛试题hope2-1-11

高二希望杯数学竞赛试题

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第十一届“希望杯”全国数学邀请赛

高二 第1试

一、选择题（每小题6分，共60分）

1、直线a,b分别过点P(-2,-2)，Q(1,3)，它们分别绕点P和Q旋转，但保持平行，那么，它们之间的距离d的取值范围是（ ）。

（A）； （B）(0,+∞

)； （C）∞

)； （D）+∞)。

2、等比数列{an}中，a1+a2+"+a5= 27，a6+a7+"+a10=3，则

n→+∞

lim(a1+a2+"+an)=（ ）。

（A）－30； （B）30； （C）243/10； （D）-243/10。

3、正方体ABCD—A’B’C’D’中，E、F分别是AB、BB’的中点，则A’E和C’F所成的角是（ ）。

（A）arcsin

3ππ； （B）arccos； （C）； （D）。 5543

3π

为的扇形，则过圆锥顶点的截面面积的最大2

4、圆锥的侧面展开图是半径为1，圆心角值是（ ）。

（A）

1； （B）； （C）； （D）。

42

2

6

2

2

5、If the line x++a=0and the circlex+y=1 have two different intersections（交点） in the third quadrant（象限），then the interva1（范围） of

the real a is （ ）。

（A）( 2,

1)； （B）( 2,； （C）(1,2)

； （D）2)。

6、使不等式2 a>arccosx的解是

x

1

<x≤1的实数a的取值范围是（ ）。 2

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（A）1

π

2

； （B）

2π5π1

； （C） ； （D） π。 23262

11n

+≥恒成立，则n的最大值为（ ）。 a bb ca c

7、设a>b>c,n∈N，且

（A）2； （B）3； （C）4； （D）5。

8、过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于A、B两点，若|AF|:|BF|＝2:3，且直线与长轴的夹角为π/4，则椭圆的离心率为（ ）。

5

/5； （D）2/5。

9、设函数f(x)=(x 1)+n(x∈N)的最小值为an，最大值为bn，记Cn=bn 2an，则数列{Cn}（ ）。

（A）是公差不为零的等差数列； （B）是公比不为1的等比数列； （C）是常数数列； （D）不是等差数列也不是等比数列。

10、如图，半径为1的圆M切直线AB于O点，射线OC从OA出发，绕着O点，顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形Pn0的面积S = f(x)，那么 f(x)

的图象是（ ）。

22

二、A组填空题（每题6分，共60分）

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11、已知0<a<b,x=y=，则x,y的大小关系是________。

12、{an}是等差数列，a2+a4+"+a2n=P，则该数列前2n+1项的和是________。

13、如果任意实数x

均使π

≥ a成立，则a的取值范围是________。

3

≤x≤1

14、f(x)=，if the eqution f(x) = a has one and only one real

|x|　　|x|>1

root（实根），then a = ________。

>的解集为{x|x≥4}，则整数k的最大值为________。

16、现有直径为d的圆木，要把它锯成横断面为矩形的梁，从材料力学知道，横断面为矩形的梁的强度Q=k b h,（b为断面宽，h为断面高，k为常数），要使强度最大，则高与宽的比是________。

17、设P0是抛物线y=2x+4x+3上的一点，M1,M2是抛物线上的任意两点，k1,k2,k3分别是P0M1,M1M2,M2P0的斜率，若k1 k2+k3=0，则点P0的坐标为________。

22

18、过原点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线y=x于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是________。

19、给出一系列化合物的分子式：C6H6,C10H8,C14H10,"，若该系列化合物的分子可以无限增大，则该系列化合物分子中含碳元素的质量分数的极限值为________%。

20、扇形铁皮AOB，弧长为20πcm，现剪下一个扇形环ABCD做圆台形容器的侧面，使圆台

母线长30cm并从剩下的扇形COD内剪下一个最大的圆，刚好做容器的下底（指较大的底），则扇形圆心角是________度。

三、B组填空题（每题6分，共30分）

21、函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[2,3]时，f(x) = x，则当x∈[-2,0]时，f(x)的解析式写成分段函数的形式是________，写成统一的形式是________。

2

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22、正三棱柱ABC—A’B’C’的所有棱长都相等，D是AA’的中点，则BC’和CD所成的角是________，面BCD与面CDB’所成二面角等于________。 23、x,y∈R且x ________。

24、数列{an}的前n项和Sn=

2

92

y=2，则当有序数对(x,y)为________时，|2x+3y|取得最小值2

π

3

n2,(n∈N)，则an=________，

cos2an 1+cos2an+cos2an+1=_______。

25、圆锥曲线G的一个焦点是F，与之对应的准线是l，过F作直线与G交于A、B两点，以AB为直径作圆M，圆M与l的位置关系决定G 是何种曲线之间的关系是：

圆M与l的位置 G 是何种曲线

相离

相切

相交