第1章集合与常用逻辑用语1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 教师版2012-

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

考情分析

由于四种命题及其关系，要涉及具体的知识点，所以容易混淆的知识点也常常成为命题的载体，充分必要性的判断是常考内容．高考可能会联系其他重点知识设计成对充要条件的考查，如集合、直线方程、空间中位置关系的理解等等都可以成为考查充要条件的载体． 江苏省近几年没有独立的对本部分内容考查，但结合其他省份的高考命题情况来分析，本部分内容是常考的命题点之一，因而对本部分内容的复习还是要给出一定的关注．

基础梳理

1．命题的概念

可以_________的语句叫做命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

(2)四种命题间的关系

(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有_____的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性_________．

3．充分条件与必要条件

(1)如果p q，则p是q的_________， q是p的__________；

(2)如果p q，q p，则p是q的__________．

思考感悟

否命题与命题的否定有何不同？

提示：命题：若p则q，否命题：若非p则非q，而命题的否定只否定命题的结论．

课前热身

1．(2011年苏北四市调研)下面有四个命题：

①集合N中最小的数是1；

②若a属于N*，则－a不属于N；

③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；

④x2＋1＝2x的解集可表示为{1,1}．

其中真命题是________．

答案：②

2．命题“若a＞b”，则“a－1＞b－1”的逆否命题是________．

答案：若a－1≤b－1，则a≤b

3．a，b为非零向量．“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的________条件．

222222解析：f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝xa·b＋xb－xa－a·b＝xa·b＋x(b－a)－a·b.

22充分性：∵a⊥b，∴a·b＝0，∴f(x)＝x(b－a)，

若|a|≠|b|，则f(x)是一次函数，若|a|＝|b|，则f(x)是常函数，∴充分性不成立．

22必要性：∵f(x)是一次函数，∴a·b＝0且b－a≠0，∴a⊥b且|b|≠|a|，∴必要性成立．

答案：必要而不充分

24．(2011年苏州调研)命题“若x＞0，则x＞0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)

答案：假

考点突破

考点一 命题关系及命题真假的判断

如果要判断一个命题是假命题，只需举出反例即可；如果要判断命题是真命题则需要进行证明．由于原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，因此在直接证明原命题的真假有困难时，可以考虑与它等价的逆否命题．

例1已知函数f(x)＝x＋sinx，x∈R，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

【分析】 首先用导数法，判断出f(x)的单调性，利用命题的等价性判断．

【解】 ∵f′(x)＝1＋cosx≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．

(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题．用反证法证明：假设a＋b＜0，a＜－b，b＜－a，因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真．

(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0，真命题．因为一个命题 它的逆否命题，所以可以证明原命题为真命题．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，又因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，所以逆否命题为真．

【点评】 本题可由提供的命题的特点，联想到与函数的单调性有关，但误区是采用单调性的定义来判断函数的单调性，这说明对知识的归纳不到位．

变式训练1 若m≤0，或n≤0，则m＋n≤0.写出逆命题、否命题、逆否命题，同时分别指出它们的真假．

【解】逆命题：若m＋n≤0，则m≤0，或n≤0.逆命题为真．

否命题：若m＞0，且n＞0，则m＋n＞0.否命题为真．

逆否命题：若m＋n＞0，则m＞0，且n＞0.逆否命题为假．

考点二 充分条件与必要条件的判定

解这类问题必须明确哪个是条件，哪个是结论，然后再看是由条件推出结论，还是由结论推出条件，应用充分不必要、必要不充分、充要条件的定义加以证明．

例2 (2011年苏州调研)下列各小题中，p是q的充要条件的是________．(填写正确命题的序号)①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；

f －x ②p：1，q：y＝f(x)是奇函数；③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ； f x

④p：A∩B＝A，q： UB UA.

π【分析】 ①中求出q适合的m的范围与p对比；②p中：f(x)≠0；③正切对α＝kπ2

义；④中A∩B＝A A B.

【解析】 若y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则m2－4(m＋3)＞0，解得m＜－2或m

f －x ＞6，故①正确；对于②，函数f(x)＝sinx是奇函数，它不全满足1，即不是必要条f x

π件；对于③，当α＝β＝时，cosα＝cosβ成立，但tanα＝tanβ不成立；对于④，∵A∩B＝A，2

∴A B， UB UA，反之也成立．【答案】 ①④

【点评】 充分必要性的判断要注意命题p与q之间的区别，不论是形式上的，还是具体到

π某 …… 此处隐藏：5361字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……