1-9 连续函数的运算与初等函数的连续性

高等数学或微积分的第一章函数、极限和连续的课件

第一章

一、连续函数的运算法则二、初等函数的连续性 三、小结与思考判断题

2012年12月7日星期五

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一、连续函数的运算法则定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积, 商(分母不为0)运算, 结果仍是一个在该点连续的函数.( 利用极限的四则运算法则证明)

例如, 在其定义域内连续 定理2.连续单调递增 (递减)函数的反函数也连续单调 递增 (递减). (证明略) 例如, y sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y arcsin x 在[-1,1]上也连续单调递增.2012年12月7日星期五

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又如,其反函数 定理3.

在在

上连续单调递增,上也连续单调递增.

连续函数的复合函数是连续的. 且 ( x0 ) u0 . 即

证: 设函数

于是

lim f (u )u u0

f [ ( x0 )]

故复合函数2012年12月7日星期五

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例如,

是由连续函数链

x R*复合而成 , 因此

x R * 上连续 . 在

y

1 y sin x

o

x

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例1 . 设

均在

上连续, 证明函数

也在 证:

上连续.

f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)

根据连续函数运算法则, 可知 连续 .2012年12月7日星期五

也在

上

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二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函 数在定义区 间内连续

例如,

y 1 x 的连续区间为2

(端点为单侧连续)

y ln sin x 的连续区间为而 y

cos x 1 的定义域为蚌埠学院 高等数学6

因此它无连续点2012年12月7日星期五

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注1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其 定义域内不一定连续;例如, y x 2 ( x 1) 3 , D : x 0, 及x 1,

在0点的邻域内没有定义.

函数在区间[1, )上连续.注2. 初等函数求极限的方法：代入法.x x0

lim f ( x) (lim x) f ( x0 ) f x x0

( x0 定义区间 )

求 lim cos e x 1. 例2. x 0

解

原式 cos e0 1 1蚌埠学院 高等数学7

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例3.求解: 原式 例4.求 解:令 t a 1, 则 x log a (1 t ) , t 原式 lim t 0 log a (1 t )x

说明: 当

时, 有

ln(1 x) ~ x2012年12月7日星期五

ex 1 ~ x8

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例5. 求解: 原式3 sin x ln(1 2 x )

3 2x x

说明:若 lim u ( x) 0 , lim v( x) , 则有x x0 x x0

x x0

lim 1 u ( x)

v( x)

e

e2012年12月7日星期五

lim v( x) u ( x)x x0

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例6. 设 讨论复合函数

x 1 x, ( x) x 4 , x 1的连续性 .

解:

2 ( x),

( x) 1

2 ( x) , ( x) 1lim f [ ( x)]

lim x 2 1 x 1

x2 ,

x 1

2 x , x 1

x 1时 f [ ( x)] 为初等函数 , 故此时连续; 而x 1

x 1

lim f [ ( x)] lim ( 2 x) 3x 1

故

在点 x = 1 不连续 , x = 1为第一类间断点 .2012年12月7日星期五

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三、内容小结基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续

初等函数 在定义区 间内连续

说明:

分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.

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思考与练习续? 反之是否成立? 提示: “反之”不成立. 反例 x 为有理数 x 为无理数

f (x) 处处间断, f 2 ( x) , f ( x) 处处连续 .

作业

P682012年12月7日星期五

3 (5) , 4 (4) ,

(6) , (7) ; (5) ,(6) ;

512

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