证明：设数列{xn}是有界数列。定义数集A={x|{xn}中大于x的点有无穷多个}

三、证明中的几点发现

1.即使用同一个基本定理证明同一个定理，也可能有不同的方法。以下分别用两种方法完成用单调有界定理证明致密性定理。

证法一：由上一部分的论述，我们知道，用单调有界定理证明致密性定理，可以用二分法，本质上用区间套去证明致密性定理。

证法二：首先证明有界数列{an}有单调子数列。

称其中的项an有性质M，若对每个i＞n，都有an≥a1，也就是说，an是集合{ai|i＞n}的最大数。

2.从用有限覆盖定理证明致密性定理和用确界定理证明致密性定理中，我们都证明了一个结论：若

x0∈[a,b]， δ＞0,(x0-δ,x0+δ)中必含有xn的无限多项，则存在{xnk}为{xn}的子数列且收敛于

x0。而我们发现，其实这是一个充分必要条件。

3．由单调有界定理证明致密性定理的第二种证法，我们可以得出结论：任何数列都有单调子数列。有界数列已证。而无界数列也有单调子数列。

4. 从数列的极限理论，我们知道收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛。在一系列需要构造收敛数列的分析问题中，往往一开始构造一个有界数列，然后由致密性定理得出子列，也即致密性定理，让我们从“混乱”的数列中找出了“秩序”。

证明是数学的灵魂！数学是研究结构的。通常情况下，如果它受什么条件制约的话，则必有什么性质。假如具备什么条件的话，则必然有什么结果。在实数基本定理的证明之中，我们深深体会到这一点。正如在任何语言中，同一思想可以用多种表达方法一样，同一个数学事实可以有不同的表达方式和不同的证明方法。而在证明过程中，我们不只检验了定理，而且对定理有了更深的理解。不同的证明还启迪了我们的思维，交流了数学思想，促进了我们的发现。

参考文献：