浅谈致密性定理的不同证明方法

[摘要]在《数学分析》课程的极限续论部分，提出了关于实数的七个基本定理。这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，但最后却都能殊途同归。本文就以致密性定理为例，论述如何从不同角度对其进行证明，并总结在证明过程中的几点发现。

[关键词]实数基本定理 确界定理 单调有界定理 区间套定理 有限覆盖定理 致密性定理 柯西收敛定理

一、分析的严格化——定理的出现

十七世纪，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼茨各自独立发现，推动了科学技术的发展。一方面，微积分在应用中大获成功；一方面其自身却存在着逻辑矛盾。至十九世纪，由十七、十八世纪积累下来的矛盾到了非解决不可的程度。于是，在众多数学名家的努力下，提出了七个实数基本定理！

定理表述如下：（1）实数基本定理：对R的每一个分划A|B，都唯一的实数r，使它大于或等于下类A中的每一个实数，小于或等于上类B中的每一个实数。（2）确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。

（3）单调有界原理:若数列{xn}单调上升有上界，则{xn}必有极限。（4）区间套定理:设｛［an,bn］｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r包含在所有的区间里,即r∈I∞n=1［an,bn］。（5）有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。（6）致密性（魏尔斯特拉斯）定理：有界数列必有收敛子数列。（7）柯西收敛定理：在实数系中，数列{xn}有极限存在的充分必要条件是：＞0,N,当n＞N,m＞N时，有｜xn-xm｜＜。

二、致密性定理的不同证明方法

1．用确界定理证明致密性定理