材料力学第06章 复杂应力状态分析及强度理论

第六章

复杂应力状态分析及强度理论

中北大学理学院力学系

第一节 应力状态分析实例 第二节 平面应力状态分析 第三节 三向应力状态简介

第四节 广义胡克定律第五节 复杂应力状态的变形比能

第六节 强度理论第七节 扭转与其它变形的组合 总结与讨论

第一节 应力状态分析实例

1、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合， 称为这点的应力状态(State of Stress at a Given Point)。 2、单元体： 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质 ——a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。

syy

szz

txy

sxx

3、主单元体、主平面、主应力： 主单元体(Principal element body): 各侧面上剪应力均为零的单元体。 主平面(Principal Plane):

剪应力为零的截面。 主应力(Principal Stress ):

主面上的正应力。 主应力排列规定：按代数值大小，

s 1 s 2 s 3

三向应力状态( Three—Dimensional State of Stress): 三个主应力都不为零的应力状态。

二向应力状态(Plane State of Stress): 一个主应力为零的应力状态。 单向应力状态(Unidirectional State of Stress): 一个主应力不为零的应力状态。

sxtzx

B

txz

sx

sxA

sx

应力状态实例 原始单元体(已知单元体):例 P 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 P

A

sxA

sx

y B C z P

t yx sxtzxB Mx

txz

sx

C

t xy

例图为承受均布载荷作用的简支 梁。m m 截面距离左端支座 为 a(a l 2) 。①指出 m m横 截面1至5点沿纵横截面截取的 单元体各面上的应力方向。② 若2点的横截面上的正应力为 ，s 70MPa 剪应力为 ，t 50MPa 试确定2点的主应 力及主平面的方位。q1 3 4 5 2

a l

q

解：(1) 梁的内力图如图所示a2 4

m1 3 5

m l

Q 0 M 0

ql 2 x ql 2 x

则m-m截面上的剪力 和弯矩均为正由此可得各点的应力 状态图如下

ql 8

2

单元体的应力状态：

单向应力状态

sx

1

sx

sx

My Iz z

t yx sx2

sx t xy

QS t xy b Iz主应力的计算：

t yx

纯剪切应力状态sx

3

t xy

t yx4

sx t xy

s 1 s x sx 2 2 ( ) t xy 2 s 3 2

单向应力状态

sx

5

sx

例题

分析薄壁圆筒受内压时的应力状态m n

z

y

p

D

m

l

n n

(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F

πD F p 4薄壁圆筒的横截面面积

2

s′

p

A πD

πD 2 F p 4 pD s A πD 4

n

D

(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象s"p

直径平面

FN

O

FN d

y

D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2s l plD

0 s 2 π

第二节 平面应力状态分析1 平面应力状态分析——解析法 y

sy等价

sy

txyz

sxy

sx

txyx

x

O