2019年数学人教A必修二新一线应用案巩固提升：2.3 2.3.2 平面与平面垂直的判定
时间：2025-05-06
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[学生用书P113(单独成册)])
[A 基础达标]
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 ( )
A ．0个
B ．1个
C ．无数个
D ．1个或无数个
解析：选D ．当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．
2．从空间一点P 向二面角α-l -β的两个面α，β分别作垂线PE ，PF ，E ，F 为垂足，若∠EPF ＝60°，则二面角α-l -β的平面角的大小是( )
A ．60°
B ．120°
C ．60°或120°
D ．不确定
解析：选C ．若点P 在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P 在二面角外，则二面角的平面角为60°.
3．已知直线a ，b 与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )
A ．α⊥γ，β⊥γ
B ．α∩β＝a ，b ⊥a ，b ⊂β
C ．a ∥β，a ∥α
D ．a ∥α，a ⊥β
解析：选D ．由a ∥α，知α内必有直线l 与a 平行．而a ⊥β，所以l ⊥β，所以α⊥β.
4．如图，正四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 上的动点，则(
)
A ．存在点G ，使PG ⊥EF 成立
B ．存在点G ，使FG ⊥EP 成立
C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面AC
D 成立
D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立
解析：选C ．正四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AC 的三等分点，
P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 上的动点，
在A 中，不存在点G ，使PG ⊥EF 成立，故A 错误；
在B 中，不存在点G ，使FG ⊥EP 成立，故B 错误；
在C 中，不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确；
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雨衣专享 在D 中，存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误．故选C ．
5．在四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，A BD C 为直二面角，E 是CD 的中点，则∠AED 的度数为( )
A ．45°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
解析：选B ．如图，设AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝a ，取BD 的中点F ，连
接AF ，CF ，则AF ⊥BD ，CF ⊥BD ，所以∠AFC 是二面角A -BD -C 的平
面角，由题意知∠AFC ＝90°，即AF ⊥FC ，由题意可得AF ＝CF ＝22
a .在Rt △AFC 中，易得AC ＝a .所以△ACD 为正三角形．又因为E 是CD
的中点，所以AE ⊥CD ，即∠AED ＝90°.
6．已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面(如图)
，则图中互相垂直的平面有________对．
解析：因为DA ⊥AB ，DA ⊥P A ，所以DA ⊥平面P AB ，同理BC ⊥平面P AB ，又AB ⊥平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD ，所以平面P AD ⊥平面AC ，平面P AB ⊥平面AC ，平面PBC ⊥平面P AB ，平面P AB ⊥平面P AD ，平面PDC ⊥平面P AD ，共5对．
答案：5
7．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，将△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折叠，使平面ABD ⊥平面ACD ，则折叠后BC
＝________．
解析：因为在原△ABC 中，AD ⊥BC ，
所以折叠后有AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，
所以∠BDC 是二面角B -AD -C 的平面角．
因为平面ABD ⊥平面ACD ，
所以∠BDC ＝90°.
在Rt △BCD 中，∠BDC ＝90°，BD ＝CD ＝
22， 所以BC ＝ ⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫
222＝1. 答案：1
8．已知：m ，l 为直线，α，β为平面，给出下列命题：
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雨衣专享 ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α；
②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线；
③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β；
④若m ⊂α，l ⊂β且α∥β，则m ∥l .
其中正确命题的序号是__________．
解析：由直线与平面垂直的判定定理知，①正确；
对于②，若l ∥α，m ⊂α，则l 与m 可能平行，也可能是异面直线，故②不正确； 对于③，满足题设的平面α，β有可能平行或相交，不能推出α⊥β，故③不正确； 对于④，m 与l 可能平行，也可能是异面直线，故④是错误的．故正确的命题是①. 答案：①
9.如图，过S 点引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB
＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°.求证：平面ABC ⊥平面BSC ．
证明：取BC 的中点D ，连接SD 、AD (图略)，由SA ＝SB ＝SC ，∠
ASB ＝∠ASC ＝60°，得AB ＝AC ＝SA ．
所以AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，
所以∠ADS 是二面角A -BC -S 的平面角．
又∠BSC ＝90°，令SA ＝1，
则SD ＝22，AD ＝22
，所以SD 2＋AD 2＝SA 2. 所以∠ADS ＝90°，所以平面ABC ⊥平面BSC ．
10．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD
＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面
成45°角，点E 是PD 的中点．
(1)求证：BE ⊥PD ；
(2)求二面角P -CD -A 的余弦值．
解：(1)证明：连接AE .
因为P A ⊥底面ABCD ，所以∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，
所以∠PDA ＝45°.所以P A ＝DA ．
又因为点E 是PD 的中点，所以AE ⊥PD ．
因为P A ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，
所以P A ⊥AB ．因为∠BAD ＝90°，所以BA ⊥DA ．
又因为P A ∩AD ＝A ，
所以BA ⊥平面PDA ．又因为PD ⊂平面PDA ，所以BA ⊥PD ．
又因为BA ∩AE
＝A
，
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雨衣专享 所以PD ⊥平面ABE .
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