高三数学专题复习之：指数函数、对数函数和幂函数

高三数学专题复习之：指数函数、对数函数和幂函数

高三数学专题复习之：指数函数、对数函数和幂函数

考点一：指数与指数幂的运算

一．【基础知识回顾】

1.方根的定义：如果一个数的n次方等于a（n 1,且n N ）,那么这个数叫做果x a，那么x叫做a的n次方根.当n是奇数时，a的n次方根表示为，当n是偶数时，正数的n次方根有 个，这时正数a的正的n次方根表示为 ，负的n次方根表示为 ，0的 方根都是0；根式a中n叫做a叫做2.根式的性质：⑴(a)n

⑵当n是奇数时，ann是偶数时，an

(3)负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 . 3.幂的有关概念：（1）正整数指数幂：a表示 ；

（2）零指数幂a，（a 0）；

n

n

（3）负整数指数幂：a

p

（a 0,p N ）;

m

n

(4)正分数指数幂：a

mn

； a 0,m,n N ，且n 1）

（a 0,m,n N ，且n 1）（5）负分数指数幂：a；

（6）0的正分数指数幂等于 ；0的负分数指数幂 .

注意：分数指数幂不能随便约分化简，如a不能写成a，必须认真考查a的取值才能确定. 4.幂的运算法则：a 0,b 0,r,s R；⑴a a ；⑵(ar)s ；⑶(a b)r

r

s

2412

二．【范例分析】

3

83例1化简：（1（2a b a b

2

=

3 32

变式:化简1.(e e) 4 (e3 e 3)2 4 例2化简：（1）100例3化简：()例4已知x x

1

2

1 2

= （2）

16

= 81

34

23

9

(2)2

5=

32

1

3，求下列各式的值：

12

（1）x x；（2）x x

3

2

.

考点二：指数函数及其性质

一．【基础知识回顾】

1.指数函数的定义：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的

定义域为 .

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3.指数函数和指数方程、指数不等式之间的关系：a

0 a 1时af(x) ag(x)二．【范例分析】

a ；

；a 1时af(x) ag(x) ；

例1：说明下列函数的图象与y 2x的图象的关系，并画出它们的示意图： ⑴y 2x 1 ⑵y 2x-2

例3：比较大小：①1.71.7 ②0.8例4：求下列函数的定义域和值域： ⑴y 2

例5：函数y 4 a

例6：已知f(x)

例7：已知对任意x R，不等式

x 1

2.5

3

-0.1

0.8

-0.2

③1.7

0.3

0.9

3.1

1x 4

12x x22x 1

⑵y () ⑶y x

22 1

（a 0，且a 1）的图象一定恒过定点2x2x 2

，则f(

129

) f() f() 101010

12x

2

x

12

()2x mx m 4恒成立，求实数m的取值范围

2

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10x 10 x

例8.已知函数f(x) x x

10 10

(1) 证明：f(x)在定义域内是增函数；（2）求函数f(x)的值域。

考点三：对数及其运算

一．【基础知识回顾】

1.对数的定义：如果a（a 0且a 1）的b次幂等于N，就是 ，那么数b叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做 ，N叫做 。

2.常用对数和自然对数： 叫做常用对数，N的常用对数记作 ； 叫做自然对数，N的自然对数记作 。 3.对数的运算性质：若a 0,a 1，M 0,N 0,则

M

N

③logaMn ；④logaM

①logaMN loga

4.对数的基本性质：①负数和零 对数；②1的对数等于0，即 ； ③底数的对数等于1，即 ；④对数恒等式 ； ⑤换底公式： ⑥logab logba ⑦logab log1

a

1

loganbn logb b

二．【范例分析】

例1:若a 0且a 1，x y 0，n N,则下列各式中正确的有logax1x

①(logax)n nlogax;②(logax)n logaxn;③logax loga;④ loga;

xlogayy

logax11x yx y

logax;⑦logax logaxn;⑧loga loga⑤logax logax;⑥

nnnx yx y

242

变式训练：1.lgx 2lgx对吗？若lgx lgx 2，则x

例2：计算下列各式: ⑴

⑵2log32 log3

⑶(lg5) lg2 lg50

2

1

lg25 lg2 lg lg(0.01) 1 2

32

log38 5log53 9

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例3：设3 4 36，求

xy

21

的值。 xy

例4：若lgx lgy 2lg(x 2y)，求log

2

x

的值。 y

2 xx ,1 1

例5设f(x) ，则满足f(x) 的x的值为 。

4 log81xx 1,

考点四：对数函数

一．【基础知识回顾】

1.对数函数的定义：一般地，我们把函数 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 。

注意：函数y logax（a o且a 1）与函数 互为反函数。 2.对数函数y

logx（a o且a 1）的图像和性质：

例1：求下列函数的定义域：(1)y logax2 (2)y

log1x (3)y

2

1

log5x 1

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例2：⑴6

0.7

，0.7，log0.76的由大到小顺序为

6

（2）若loga2 logb2 0，则（ ）

A.0 a b 1 B.0 b a 1 C.a b 1 D.b a 1 （3）若loga

2

1，则a 3

logb(x 3)

（4）已知0 a 1,0 b 1，且 …… 此处隐藏：1995字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……