空间向量立体几何知识点集锦

空间向量与立体几何知识点

空间向量立体几何知识点集锦

一、空间向量的加法和减法：

一点 ，作 a， b，则 a b．

2 求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点 为起点的两个已

知向量a、b为邻边作平行四边形 C ，则以 起点的对角线 C就是a与

b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．

二、实数 与空间向量a的乘积 a是一个向量，称为向量的数乘运算．当 0时，

a与a方向相同；当 0时， a与a方向相反；当 0时， a为零向量，记

为0． a的长度是a的长度的 倍．

三、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

1 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取

四、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a，bb 0，a//b的充要条件是存在实数 ，使a b．

五、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

六、向量共面定理：空间一点 位于平面 C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使 x y C；或对空

C间任一定点，有 或若四点 ， ， ，共面，则 x y z C x y z 1 ． x yC；

称为向量a，b的夹角，七、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点 ，作 则 记作 a,b ．两 a， b，

个向量夹角的取值范围是： a,b 0, ．

八、对于两个非零向量a和b，若 a,b ，则向量a，b互相垂直，记作a b．

2

九、已知两个非零向量a和b，则abcos a,b 称为a，b的数量积，记作a b．即a b acos a,b ．零向量与

任何向量的数量积为0．

十、a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos a,b 的乘积．

十一、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有 1 e a a e acos a,e ；

a

2 b a与b同向 ，a a a，a 2 a b a b 0； 3 a b

a b

4 cos a,b ； 5 a b ab．

ab

十二、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组 x,y,z ，使得

p xa yb zc．

十三、若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是pp xa yb zc,x,y,z R．这个集合可看作

是由向量a，b，c生成的，a,b,c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可

aba与b反向

以构成空间的一个基底．

十四、设e1，e2，e3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以e1，e2，e3的公共起

点 为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系 xyz．则对于空间任意一个

向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量 p．存在有序实数组 x,y,z ，使得

p xe1 ye2 ze3．把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p x,y,z ．此时，向量p

的坐标是点 在空间直角坐标系 xyz中的坐标 x,y,z ．

空间向量与立体几何知识点

十五、设a x1,y1,z1 ，b x2,y2,z2 ，则 1 a b x1 x2,y1 y2,z1 z2 ．

2 a b x1 x2,y1 y2,z1 z2 ． 3 a x1, y1, z1 ．

a．若、为非零向量，则ba b a b 0 x1x2 y1y2 z1z2 0． 4 a b x1x2 y1y2 z1z2 5

6 若b 0，则a//b a b x1 x2,y1 y2,z1 z2． 7

a

a b

8

cos a,b ．

ab 9 x1,y1,z1 ， x2,y2,z2 ，则

d

十六、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点 以及一个定方向确定．点 是直线l上一点，向量a表示直线

l的方向向量，则对于直线l上的任意一点 ，有 ta，这样点 和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点．

十七、空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点 ，它们的方向向量分别为

a，b． 为平面 上任意一点，存在有序实数对 x,y 使得 xa yb，这样点 与向量a，b就确定了平面 的

位置．

十八、直线l垂直 ，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面 的法向量．

十九、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a//b a//b

a b R ，a b a b a b 0．

二十、若直线a的方向向量为a，平面 的法向量为n，且a ，则a// a//

a n a n 0，a a a//n a n．

二十一、若空间不重合的两个平面 ， 的法向量分别为a，b，则 // a//b

a b， a b a b 0．

a b

二十二、设异面直线a，b的夹角为 ，方向向量为a，b，其夹角为 ，则有cos cos ．

ab

n ll二十三、设直线的方向向量为l，平面 的法向量为，与 所成的角为，l与n的夹角为 ，则有

l n

sin cos ．

ln

二十四、设n1，n2是二面角 l 的两个面 ， 的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面 …… 此处隐藏：379字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……