数值分析复习

重庆交通大学2014年数值分析考试重点复习

复

习

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第一章 误差

误差 相对误差与相对误差限 数值计算精度

有效数字

绝对误差与绝对误差限

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避免两个很接近的近似数相减； 避免“大数吃掉小数”； 避免“大数”除以“小数”； 选择计算复杂性好的算法。

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范数

向量范数 2-范数 -范数

矩阵范数

算子范数

1-范数

列范数

谱范数

行范数

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范数等价性与相容性

同一个空间中任何两个范数等价；

R n 中任何一个向量范数都可以在 R n n 中定义一个相容的矩阵范数-算子范数；

R n n中任何一个矩阵范数都可以在 R 定义一个向量范数与之相容； R n 中任何一个向量范数与 R n n 中任何一个矩阵范数不一定相容。

n

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第四章 非线性方程数值解法

二分法

迭代法

Newton切线法——平方收敛

双点弦截法 单点弦截法

——1.618阶敛速

——线性敛速

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关于迭代法收敛性

若 a, b 是 x x 的隔根区间， 对于任取初值

x a, b ，由

递推公式产生的迭代序列都收敛，则称迭代公式收敛。 简单迭代法收敛的判定； 迭代法收敛阶的判定； 给定非线性方程，构造迭代公式； Newton切线法、双点与单点弦截法使用条件； Newton切线法、双点与单点弦截法收敛速度比较 。

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第二章 线性方程组数值解法

直接法 三角分解法 追赶法

迭代法 Gauss消元法

数值解法

Jacobi 迭代法

G-S迭代法

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关于迭代法收敛性

若对于任取初始向量 ，由递推公式产生的迭代序列都收敛，

则称迭代公式收敛；否则称迭代公式不收敛。 注1 迭代公式收敛，指对于任取初始向量，由递推公式产

生的迭代序列都收敛。 注2 迭代公式不收敛，指可取初始向量，由递推公式产生 的迭代序列不收敛。 注3 迭代公式不收敛，可取初始向量，由递推公式产生的 迭代序列收敛。

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思

考

若迭代矩阵的谱半径大于或等于1，是不是对于任给 初始向量得到的向量序列都不收敛到方程组的唯一解？

已知方程组x=Gx+d有唯一解x*,迭代矩阵G的谱半径大于1，

但G有一个特征值满足 1。可以取不等于x*的初始向量x(0)，

使得相应的迭代公式 x(k 1) Gx(k ) d，k 0,1, 产生的向量序列

收敛。

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Z是属于

0 x x z, 的特征向量，取

x 1 Gx 0 d G x z d Gx Gz d x d z d x z

x 2 Gx 1 d G x z d Gx Gz d x d 2 z d x 2 z

x k Gx k 1 d G x k 1 z d Gx k 1Gz d x d k

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