2014·高三复习数学(理)2第8章第9讲圆锥曲线的综合问题

时间：2025-04-30

第9讲圆锥曲线的综合问题

第八章

第9讲

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不同寻常的一本书，不可不读哟！

1.能解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系等问题. 2. 理解数形结合的思想.

3. 了解圆锥曲线的简单应用.第八章第9讲第2页

1个必背口诀联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘.

2种必会方法1. 涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”,采用设而不求，利用弦长公式计算弦长求解时，不要忽略判别式大于零. 2. 涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐

标，弦中点坐标和弦所在直线的斜率联系起来，相互转化.第八章第9讲第3页

3 点必记提醒 1. 直线 l 线平行. 2. 直线 l a≠0 与抛物线有且只有一个公共点 Δ=0 a≠0 与双曲线有且只有一个公共点 Δ=0

或 l 与渐近

或 l 与对称

轴平行或重合. 3. “点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式 Δ 是否为正数.第八章第9讲第4页

课前自主导学

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1. 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y) =0,消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程. Ax+By+C=0, 即 F x,y =0,

消去 y 后得 ax2+bx+c=0.

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(1)当a≠0时，设一元二次方程ax 2 +bx+c=0的判别式为 Δ,则Δ>0 直线与圆锥曲线C________; Δ=0 直线与圆锥曲线C________;

Δ<0 直线与圆锥曲线C________.(2)当a=0,b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是________;若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是________.

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直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲

线相切？

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(1)已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax2 相切，则 a 等于________. x2 y2 (2)直线 y=kx-k+1 与椭圆 9 + 4 =1 的交点的个数 ________.

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2.圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长

直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段),线段的长就是弦长.

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(2)圆锥曲线的弦

长的计算设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点，A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|=____________=________= 1 1+k2 · 1 -y2|.(抛 |y

2p 物线的焦点弦长|AB|=x1+x2+p=sin2θ, 为弦 AB 所在直线 θ 的倾斜角).

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x2 y2 (1)已知 F1、 2 为椭圆25+ 9 =1 的两个焦点， F1 的直 F 过线交椭圆于 A, 两点， 2A|+|F2B|=12, B 若|F 则|AB|=________. (2)设抛物线 y2=16x 上一点 P 到 x 轴的距离为 12, 则点 P 与焦点 F 的距离|PF|=________. (3)直线 y=x+1 与 2x2-y2=1 相交于 A, 两点， B 则|AB| =________.第八章第9讲

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1. 相交

相切相离

平行

想一想：提示：直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与其对称轴平行或重合的直线，双曲线与渐近线平行的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交. 1 填一填：(1)4

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x-y-1=0, 提示：由 y=ax2, a≠0, 所以 1-4a=0,

消去 y,得 ax2-x+1=0.

1 解得 a=4.

(2)2 个提示：直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 过定点(1,1), 12 12 13 ∵ 9 + 4 =36<1, ∴定点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆必相交.第八章第9讲第14页