格林公式、高斯公式和斯托克斯公式

比较异同,并加以统一。数学小论文的良好材料!!!

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非光滑函数的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式

李日光，欧

苡

（广西师范学院数学与计算机科学系，广西南宁)("""!）

摘

要：利用富比尼定理建立了非光滑函数的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式+

文献标识码：-!

关键词：富比尼定理；非光滑函数；格林公式中图分类号：,!&#+#

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（%）（%）’"在牛顿—莱布尼兹公式#$中，只须要求#$（%）在［"，格林公式.%&#!］上可积，

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定理!

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在(是否能只要求+.%.).,是牛—莱公式在二元情况下的推广，

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内可积呢？本文利用实变函数的知识对此作了肯定的回答/

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若函数+（%，，（%，在闭区域(上连续，且在(上黎曼可积，则有),）,）

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这里-为区域(的边界曲线，并取正方向/

证明先假设穿过区域(内部且平行于坐标轴的直线和-至多交于两点，即区域(既是/型区域又是0型区域（图!）/（%，，(&｛"%%%!｝,）’!（!%）#%）%,%!（或，，（%，(&｛,）’!（"%,%#｝!,）#,）%%%!（这里,&!（和,&!（分别为曲线012和032的方程，而%&$（和%&$（则分别!%）#%）!,）#,）

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在(上黎曼可积，从而勒贝格可积，由富比尼定理（文［!］，是曲线103和123的方程/由于#%#,

定理’）可得1!(&，

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减即得（!）/

收稿日期：#""(4"*4!2

作者简介：李日光（!2’’*），男（壮族），广西隆安人，副教授，硕士，主要从事常微分方程研究

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万方数据

比较异同,并加以统一。数学小论文的良好材料!!!

第(期李日光，欧苡：非光滑函数的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式

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当!是一般情形时的证明和普通的数学分析教科书的证明相同，略"

#%更进一步，我们讨论虽然不存在，但右偏导数在!上存在且黎曼

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可积的情形，例如多元凸函数就属于这种情形"

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定理!若函数%（$，，（$，在闭区域!上连续，右偏导数!’在!上存在且黎曼可#&）&）

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积，则有

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这里*为区域!的边界曲线，并取正方向"

证明和定理#的证明相同，其中第#个等号要用到富比尼定理，第!个等号要用到文［!］$%&命题’的结论"注对左偏导数，亦有同样结论"

对高斯公式和斯托克斯公式，也有类似的结论"

设空间区域+由分片光滑的双侧封闭曲面,围成"若函数%，且一阶偏#，-在+上连续，%#-导数在+上黎曼可积，则

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其中,取外侧"

证明和定理#类似，略"

定理)设空间区域+由分片光滑的双侧封闭曲面,围成"若函数%，一阶右偏#，-在+上连续，%!’#!’-导数!’在+上存在且黎曼可积，则

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把右偏导数改为左偏导数，也有类似结论"

设光滑曲面,的边界*是按段光滑的连续曲线"若函数%、（连同*）上可微，一#、-在,

阶偏导数在,（连同*）上黎曼可积，则

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其中,的侧与*的方向按右手法则确定"

证明和数学分析教科书中的证明基本相同，例如可参看文［(］"只须把其中的格林公式改为定理#，%、#、-的可微性是由于证明中用到了复合函数求导的链式法则"例设

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（$，*，*）&）)（*，可验证%，而在原点不连续，显然有#在含原点的闭区域!内连续，

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比较异同,并加以统一。数学小论文的良好材料!!!

D.

广西师范学院学报（自然科学版）第(’卷

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式中左边是收敛的反常二重积分!设"为#内任一条封闭曲线（含原点），"!为绕原点一周的圆!（’!!!(%&’"#$!(& …… 此处隐藏：487字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……