多元函数微分学,高数

多元函数微分学,高数

多元函数微分法1. 多元函数的极限:

一.多元函数的极限与连续性

定 义1: 设z f ( x , y ) f ( M )在 点 集 上 有 定 义 ， E M 0 ( x0 , y0 )为E的 一 个 聚 点 ， 若 对 0, 存 在

0, 使 得 对 满 足 | MM0 | 的M ( x , y ), 有 0 | f ( x , y ) A | , 则 称A为f ( x , y )当x x0 , y y0 ( M M 0 )时 的 极 限 ， 记 为 li m f ( x , y ) A , 或 li m f ( M ) Ax x0 y y0 M M0

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注 1. 多元函数有类似于一元函数的极限运算法则, 如四则运算, 复合运算,夹逼定理等同样成立. 2. 二重极限远比一元函数的极限复杂. 二重极限 存在,指M(x,y)以任何方式趋于 M 0 ( x0, y0 ) 时, 函数f (x, y)都无限接近于A.若M(x,y)按两种不同的方式趋于 M0 ( x0, y0 ) 时, f(x,y)趋于两个不同的值, 则可断定极限不存在.

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2. 多元函数的连续性:

定义2: 若 lim f ( x , y ) f ( x0 , y0 )x x0 y y0

则称 f ( x, y) 在 M0 ( x0 , y0 )处连续。 f ( x , y ) 为D内 的 连 续 函 数 ： f ( x , y ) 在 D内 的 每 一 点 处 连 续 。

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注:1. 一元函数中关于连续函数的有关结论可 推广到多元函数中, 如四则运算: 多元连续函 数的和, 差,积均为连续函数,连续函数的商在 分母不为零处仍连续.

2. 多元初等函数在其定义域内连续.有界闭区 域上的多元连续函数具有与闭区间上的一元连 续函数类似的性质,如最大、小值定理,介值定 理等.

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例1

xy si n x y ) ( 证 明l i m 0. 2 2 x 0 x y y 0si n ( ) xy 求lim x 0 y y 0

例2

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例3

xy 2 lim 2 是否存在? 4 x 0 x y y 0 xy l n (x 2 y 2 ) x 2 y 2 0, 研 究 函 数 ( x, y) f 0 x2 y2 0 在( 0,0)处 的 连 续 性 。

例4

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二.多元函数微分法

1.偏导数f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 )

D , 定义3 设 z f ( x , y )在 区 域 上 有 定 义 M 0 ( x0, y0 ) D, 若 x 存 在, 则 称 此 极 限 为 f ( x , y ) 在M 0 ( x0, y0 )处 对x z x 0

lim

z 的 偏 导 数记 为 . M 0 或 f x ( x 0 , y0 ). x 同样地， f ( x, y)在M0 ( x0, y0 )处对y的偏导数为 z : z yM0

f y ( x0, y0 ) lim y 0

f ( x0 , y0 y ) f ( x0, y0 ) y

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若z f ( x , y )在 区 域 上 的 每 一 点 都 有 偏 导 f x ( x , y ), D 数 f y ( x , y ), 它 们 均 为( x , y ) 的 函 数, 称 为 z 的 偏 导 函 数 , z z 简称为偏导数 为 ,记 , 或 fx, fy. x y z f ( x , y )点M 0 处 的 梯 度grad ( M 0 ) z z z , x y

M

0

类似可定义三元函数，n元函数的偏导数与梯度

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2.偏导数的几何意义 : z f ( x, y) f x ( x 0 , y0 ) : 表 示 曲 线 在 点 M 0 ( x0, y0 , f ( x0, y0 )) y y0 处 的 切线 对x轴 的 斜 率 . z f ( x, y) f y ( x 0 , y0 ) : 表 示 曲 线 在 点 M 0 ( x

0 , y0 , f ( x0 , y0 )) x x0 处 的 切线 对 y 轴 的 斜 率 .

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3.高 阶 偏 导 数 二阶偏导数 2z f xx ( x , y ) 2 x 2z f yy ( x , y ) 2 y z ( ) x x z ( ) y y

2z z f xy ( x , y ) ( ) x y y x 2z z f yx ( x , y ) ( ) y x x y

二 阶 混 合 偏 导 数

类似地定义三阶 , 四阶,...,以及 n 阶偏导数 .

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定理 1 : 若f xy ( x , y ), f yx ( x , y )在点( x , y )的某邻域内 连续, 则有 f yx ( x , y ) f xy ( x , y ), 即与求 偏导数的次序无关 .

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例5

求偏导数: (1) z sin xy 2 ln(x y ) e y; y yx (2) z arct an ; (3)u z x 2x

例6

xy 2 ( x , y ) ( 0 ,0 ) 4 设f ( x , y ) x y 0 ( x , y ) ( 0 ,0 ) (1) 讨 论 f ( x , y )在 ( 0,0) 的 连 续 性 . ( 2) 求 f x ( 0,0), f y ( 0,0).

二元函数 f ( x , y )在一点的偏导数存在不能保证

f ( x , y )在该点连续。而在一元 函数中，可导必连续。

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例7 设z f ( x , y ) x ,y

2z 2z 2z 2z 求 , , , 2. 2 x y y x x y

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4. 全微分 z f ( x x , y y ) f ( x , y ) A x B y o( ) 其 中 A, B 与 x , y 无 关, 而 与 x , y 有 关,

定义4 如 果z f ( x , y )在 点( x , y )的 全 增 量 可 表 示 为

( x ) 2 ( y ) 2 .则 称 z f ( x, y ) 在 点( x, y ) 处 可 微 A x B y , 为 z f ( x , y ) 在 点( x, y ) 的 全 微 分记 为dz, 即 , dz A x B y

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定理2 (必要条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点( x, y)可微, 则 z z ( 2) f ( x , y )在( x , y )处存在偏导数 , , 且 x y z z dz x y x y

(1) f ( x, y )在( x, y )处连续;

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注 : 偏导数存在是可微的必 要条件, 而非充分条件 . z z 当偏导数存在时可得到 表达式 x y, 但它 x y 并不一定是全微分 , 必须再验证 dz z z " z [ x y ]是比 高阶无穷小 " x y 的条件, 才能保证全微分的存在 ，并且

z z dz x y gradz dx, dy x y