同济大学第五版高等数学(下)课件D10_4对面积曲面积分[1]

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第四节 对面积的曲面积分

第十章

一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法

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一、对面积的曲面积分的概念与性质引例: 设曲面形构件具有连续面密度 量 M. z 类似求平面薄板质量的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 求质

( k , k , k )

的方法, 可得

M

n

k 1

o x

y

其中, 表示 n 小块曲面的直径的

最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).机动 目录 上页 下页 返回 结束

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定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一

个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点,“乘积和式极限”记作

f ( x, y, z )d S

都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积 函数, 叫做积分曲面. 据此定义, 曲面形构件的质量为 M ( x, y, z ) d S

曲面面积为机动 目录 上页 下页 返回 结束

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对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 在光滑曲面 上连续,

则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两片光滑曲面 1, 2 , 则有

f ( x, y, z ) d S 线性性质.

f ( x, y , z ) d S

1

k1 f ( x, y, z) k2 g ( x, y, z) d S k1 f ( x, y, z ) dS k 2 g ( x, y, z ) dS 机动 目录 上页 下页 返回 结束

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二、对面积的曲面积分的计算法定理: 设有光滑曲面

z

f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分

o x Dx y

y

f ( x, y, z ) dS 存在, 且有

( k ) x y ( k , k , k )

Dx y

f ( x, y ,

)

证明: 由定义知 0

lim

n

k 1机动 目录 上页 下页 返回 结束

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而

(

k )xy

1 z x 2 ( x, y ) z y 2 ( x, y ) dxd y

1 z x 2 ( k , k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y f ( x, y, z ) dS

f ( k , k , z ( k , k )) 1 z x 2 ( k , k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y

f ( k , k , z ( k , k ))

( 光滑)

1 z x 2 ( k , k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y Dx y

f ( x, y ,

) 1 z x 2 ( x, y ) z y 2 ( x, y )d xd y机动 目录 上页 下页 返回 结束

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说明: 1) 如果曲面方程为

或

x x( y, z ), ( y, z ) D y z y y ( x, z ), ( x, z ) Dx z

可有类似的公式. 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的

二重积分. (见本节后面的例4, 例5)

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例1. 计算曲面积分被平

面 解:

其中 是球面 截出的顶部.

zDx y : x 2 y 2 a 2 h 21 2 zx

hDx y

o x

z2 y

ay

2 a dxd y dS 2 2 2 a 0 d Dx y a x y z

0

a 2 h2

rd r a2 r 2

2 a

1 ln(a 2 r 2 ) 2

a2 h2

0机动 目录 上页 下页 返回 结束

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思考:若 是球面 出的上下两部分, 则 被平行平面 z =±h 截

z0)

dS z (

h

oy

dS a z ( 4 a ln h )

x

h

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例2. 计算

其中 是由平面z1

与

坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 1 , 2 , 3 , 4 分别表示 在平面 上的部分, 则

o1 x 1 y

原式 =

1

2

x y z dS 3 4

0 y 1 x 4 : z 1 x y , ( x, y ) D x y : 0 x 1 1 1 x 3 x d x y (1 x y ) d y 3 120 0 0机动 目录 上页 下页 返回 结束

4

x yz d S

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例3. 设 : x 2 y 2 z 2 a 2

z o x

1

计算 I f ( x, y, z) d S .

Dx y

y

解: 锥面 z x y 与上半球面 z a 2 x 2 y 2 的2 2

交线为投影域为 Dx y ( x, y ) x 2 y 2 1 a 2 , 则 2

设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的I ( x 2 y 2 ) d S 1机动 目录 上页 下页 返回 结束

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I ( x y ) d S2 2 1

Dx y

(x y )2 21 2

a a2 x2 y2 a r2 r dr 2 2 a r

d xd y

2 0

d

2a

0

z o x

1

1 4 a (8 5 2 ) 6 思考: 若例3 中被积函数改为

Dx y

y

计算结果如何 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束

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例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.解: 设 的方程为 利用对称性可知重心的坐标 x y 0 , 而 用球坐标

z R cos d S R 2 sin d d 2 R3 d 2 sin cos d 0 0 2 2

R

0

d sin d 0

思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?例3 目录 上页 下页 返回 结束

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例5. 计算 解: 取球面坐标系, 则2 0

: x2 y2 z 2 R2.

R 2 sin d R cos d 0

d( R cos ) 2 R R cos 0

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例6. 计算

其中 是球面 x 2 y 2

z 2 2( x y z ).解: 显然球心为 (1,1,1) …… 此处隐藏：846字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……