概率论与数理统计1-6

§ 1.6事件的独立性 首先我们考虑下面问题： “有放回抽样”的产品抽样问题，总共a个产品， 其中有b个次品，若前后抽样两次，有放回抽样， 则注意到第1次是否取得正品并不影响第2次取得 正品的概率，即假设Ai表示“第i次取得正品”, i=1,2,则P(A2|A1)=P(A2), 此时乘法公式为P(A1A2)=P(A1)P(A2) 这就是说,已知事件A发生,并不影响事件B发生的概 率,这时称事件A、B独立.

例1 设试验E为"抛甲,乙两枚硬币, 观察正反面出 现的情况". 设事件A为"甲币出现H", 事件B为"乙 币出现H". E的样本空间为 S={HH,HT,TH,TT}, A={HH,HT}, B={HH,TH} AB={HH}. 则有P ( A) 2 4 P ( B | A) 1 2 1 2 . , P( B) 2 4 1 2 , P ( AB ) 1 4 ,

可知P(B|A)=P(B), 而P(AB)=P(A)P(B).

例2 10件产品中有4件正品，连续取两次，每次取一 件，做有放回抽样，设B,A分别表示第一、二次取 得正品，则P(A)=0.4,P(A|B)=0.4,故P(A|B)=P(A).

设A,B是试验的两事件，若P(B)>0,则可定义P(A|B). 一般，B的发生对A发生的概率有影响时，

P(A|B) ≠P(A)影响不存在时，P(A|B)=P(A),此时有

P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)

定义1.6.1 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B),则称A、B 为独立事件，或称A、B相互独立，简称A、 B独立. 注意：若P(A)>0, P(B)>0,则A、B相互独立与 A、B互不相容不能同时成立。 即若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0,则A与B不独立. 若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,则A 、B不互斥.P(AB)=0 我们来计算： 而P(A) ≠0, P(B) ≠0A

B

即

P(AB) ≠ P(A)P(B)

故 A、B不独立

前面我们看到独立与互不相容的区别和联系， 再请你做个小练习. 设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四 个结论中，正确的是：

1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0

2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)

设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四 个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0 2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)

例3 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的},问事件A、B 是否独立？

例4 已知P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,当A,B相互独 立时，求P(B).

前面我们是根据两事件独立的定义作出结论 的，也可以通过计算条件概率去做:从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}, 则 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13

可见

P(A)= P(A|B), 即事件A、B独立.

在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去 判断两事件是否独立.

两事件相互独立的含义是:它们中一个已发生, 不影 响另一个发生的概率. 在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事 件是否独立. 例如 甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中},A与B是否独立？ 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率， 故认为A、B独立 . (即

一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率)

又如： 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.

若抽取是无放回的，则A1与A2不独立. 因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.

又比如, A,B分别表示甲乙两人患感冒. 如果甲乙 两人的活动范围相距甚远, 就认为A,B相互独立, 若甲乙两人是同住在一个房间里的, 那就不能认 为A,B相互独立了. 但注意！并非所有问题均可利用直觉判断 例5 一个家庭中有男孩又有女孩，假定生男孩和生 女孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩又有女 孩},B={一个家庭中最多只有一个女孩},对下面 两种情况，讨论A和B的独立性. (1)家庭中有两个孩子；

(2)家庭中有三个孩子.

定理1.6.1 设A,B是两事件, 且P(B)>0, 若A,B相互 独立, 则P(A|B)=P(A)反之亦然.

定理1.6.2

若A、B相互独立，则A与B, A与B, A与B

各对事件均相互独立.

多个事件的独立性定义 设 A、B、C 为三事件 ,如果满足等式 P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C

则称三事件 A、B、C 为两两独立的事件 .当事件A、B、C 两两独立时 ,等式P ABC P A P B P C 不一定成立 .

例6 1袋中有4张相同大小的卡片，上面分别印有： 111,001,100,010,从中任取一张，用A,B,C分 别表示取到的卡的第1,2,3位为1,观察A,B, C的独立性.

定义1.6.2 对于三个事件A、B、C,若 P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立. 例7 一个均匀的正四面体有三面各涂上红白黑三 种颜色，第四面同时涂上红白黑三种颜色，掷此 四面体，以A,B,C分别表示四面体底面出现的红 白黑色的事件，问A,B,C是否相互独立？

此定义可以推广到任意有限多个事件的情形 :

一般, 设A1,A2,...,An(n 2)个事件, 如果对于其中 任意2个, 任意3个, ..., 任意n个事件的积事件的概 率, 都等于各事件概率之积, 则称事件A1,A2,...,An 相互独立.设 A1 ,A2 , , An 为 n 个事件 ,如果对于任意的 k 1 k n ,和任意的 1 i1 i2 ik n 有 等式P Ai Ai Ai1 2

k

P A P A P A ,则称i1 i2 ik

A1 ,A2 , , An 相互独立 .

请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系

对 n (n > 2)个事件 相互独立两两独立

?注1:对n个事件，定义相互独立中的定式有Cn Cn Cn 2 Cn Cn2 3 n n 0 1

2 1 nn

注2:A,B,C相互独立，则A∪B,AB,A …… 此处隐藏：753字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……