计算流体—对流扩散

计算流体力学

计算流体力学与计算传热学

第四章对流扩散问题数值解

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4.1对流扩散问题中心差分格式

将控制容积法应用于对流-扩散问题：d d d ( u ) ( ) dx dx dx (4 - 1)

参照下面的节点组：对方程在控制容积P上积分：( x)w ( x)e( x)-e

d d d ( u ) dx ( w dx w dx dx )dxe e

( x)+w

W

( x)-

ww

P

x

e

( x)+

Ee

图 1 一维问题空间区域的离散化

d d ( u ) e ( u ) w ( ) e ( ) w dx dx

(4 - 2a)

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用两个变量F、D代表单元面上对流质量通量和扩散传导率： A F uA, D x 利用中心差分表达扩散项，(4-2a)式变为：

Fe e Fw w De ( E P ) Dw ( P W )

(4 - 2b)

假定节点待求变量按线性分布，则有：1 1 Fe ( E P ) Fw ( W P ) De ( E P ) Dw ( P W ) 2 2 (4 - 3)

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整理，

1 1 1 1 Fe De E Fe Fw De Dw P Fw Dw W 0 2 2 2 2

(4 - 4)

aP P aW W aE E

(4 - 5)(4 - 5a)

其中， a D 1 F E e e 2aW Dw 1 Fw 2

(4 - 5b)

1 aP De Dw Fe Fw 2

(4 - 5c)

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当差分格式满足相容性、收敛性和稳定性这些数学特性时， 理论上只要计算单元的数目足够大就可以从数值方法得到与精 确解一致的解。 工程上要求数值计算产生物理上真实的解，而只有当离散 格式具有守恒性、有界性和输运性才行。中心差分格式满足守 恒性，高Pe数下不满足有界性和输运性，得不到真实的解。 满足守恒性的要求是：在控制体上积分产生守恒型控制方 程；在相邻的两个控制体中通过公共面的通量必须用相容的离 散来表达。满足有界性要求离散后产生的系数矩阵对角占优及 所有系数同符号。 定义对流和扩散相对强度的(Peclet) Pe数： F u Pe D xPe数的大小和影响的方向性之间的关系就输运性。

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对流项的离散化-几点说明对流项的引入并没有改变离散化方程的基本形式 对于一维稳定流动，按连续性方程， u=Constant 于是

1 aE ( u ) x e 2aP aW aE

1 aW ( u ) x w 2

只有同时应用连续性方程，才能使相邻系数之和原则成立

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对流项的离散化-几点说明

注意到：

u可以大于零，也可以小于零 ( / x)始终大于零 aW、aE和aP一般不能保持相同的符号

结论：上面的离散化方法不能保证系数 同号原则永远成立。

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4.2迎风差分格式中心差分格式的主要缺点是不能鉴别流动方向，迎风差分格 式在确定单元面的值时，考虑流动方向，单元

面Φ的对流项 的值取为上游节点的值。如：uw>0 , ue>0 迎风格式置： w W , e P 如：uw<0 , ue<0 迎风格式置： w P , e E( x)w ( x)e( x)+w ( x)-e

W

( x)-

ww

P

x

e

( x)+

Ee

图 1 一维问题空间区域的离散化

u

流动方向

aP P aW W aE E aP aW aE Fe Fw

aW aw max Fw ,0 , aE ae max 0, Fe 迎风格式和中心差分的区别是 w , e 取值不同.

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迎风格式的主要缺点是当流动不是沿着网格线时结果 有误差.此时,迎风格式使输运量Φ的分布变得混淆,这样 产生的误差有扩散特性,称为伪扩散(false diffusion) 理论上网格加密可解决伪扩散问题,实际中网格加密代 价太大,不可行.如此,迎风差分格式不适合精确流动计 算. 混合差分格式: 小Pe数(Pe<2)用中心差分;大Pe数 (Pe>=2)用迎风格式.混合差分格式的主要缺点是只有 泰勒级数截断误差的一级精度.

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4.3对流扩散问题的高阶差分格式

二阶迎风QUICK格式 QUICK(The Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinetics )格式 用单元面两侧的两个节点和上游侧 的再一个节点的二次插值表示这个单元面的输运量Φ 值.

可证明对均匀网格,在单元面两侧的节点i和i-1,上游节点i-2之 6 3 1 间插值,得 8i 1

8

i

8

i 2

当

w 0 , e 0

6 3 1 8 8 8 6 3 1 e P E W 8 8 8

w W P WW

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对正负流动方向都有效的一般表达式:

a P P aW W a E E aWW WW a EE EE a P aW a E aWW a EE ( Fe - Fw ) aW Dw 3(1 w ) Fw / 8 6 w Fw / 8 e Fe / 8 a E De (1 w ) Fw / 8 3 e Fe / 8 6(1 e ) Fe / 8 aWW w Fw / 8 a EE (1 e ) Fe / 8 这里 :

w 1, Fw 0 w 0, Fw 0 e 1, Fe 0 e 0, Fe 0

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QUICK格式的不足之处是不能保证主系数(E和W)为正, 而且aww,aEE为负,这就有稳定性问题, QUICK格式是有条 件稳定的.改进的QUICK格式把带来稳定性问题的系数 放进源项,这样主系数就是正的.

QUICK格式精度比中心差分和混合格式高,保持迎风加 权的特性,总的伪扩散性小,但计算较不稳定.但某些问题 如Φ 梯度较大时, QUICK格式会出现小的过低和过冲, 极端情况会出现非物理行为,如出现负湍流量k,ε. 尽管 如此,只要使用时小心判断, QUICK格式能给出非常精确 的解.