近世代数讲义(电子教案) (1)

《近世代数》课程教案

第一章 基本概念

教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n的剩余类。

教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n的剩余类。

教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与 的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n的剩余类。

教学措施：网络远程。

教学时数：8学时。

教学过程：

§1 集合

定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集

合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。

定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为 ，且 是任一集合的子集。

（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。

（2）集合表示：

习惯上用大写拉丁字母A，B，C 表示集合，

习惯上用小写拉丁字母a，b，c 表示集合中的元素。

若a是集合A中的元素，则记为a A,否则记为a A。

表示集合通常有三种方法：

1、枚举法（列举法）：

例：A=｛1，2，3，4｝，B=｛1，2，3， ，100｝。

2、描述法：A xp(x) ,p(x)—元素x具有的性质。 例：A aa Z且1 a 4 。显然例6中的A就是例5的A。

3、绘图法：用文氏图（VennDiagram）可形象地表现出集合的特征及集合之

间的关系。

（3）集合的蕴含（包含）

定义：若集B中每个元素都属于集A，则称B是A的子集，记为B A，否则说

B是A的子集，记为B A.

定义：设B A，且存在a A但a B，那么称B是A的真子集，否则称B不是

A的真子集。

定义：若集合A和B含有完全一样的元素，那么称A与B相等，记为A=B. 结论：显然，A B A B且B A.

（4）集合的运算 ①集合的并：A B xx A或x B ②集合的交：A B xx A且x B ③集合的差：A B xx A且x B ④集合在全集内的补：A xx E且x A

⑤集合的布尔和（对称差）：

A B xx A或x B但 x A B (A B) (B A) (A B) (A B) ⑥集合的卡氏积：A B (a,b)a A且b B

注：A B中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点。

卡氏积的推广：

令A1,A2, ,Am是m个集合，那么由它们做成的卡氏积为 ：

Ai A1 A2 Am (a1,a2, ,am)ai Ai,i 1,2, ,m

i 1m

对上述集合运算，可以得到一批基本公式：

(1)A B B A;A B B A.

(2)A (B C) (A B) C;A (B C) (A B) C

(3)A (B C) (A B) (A C);A (B C) (A B) (A C)

(4)A A;A E A;A A E;A A .

(5)A E E;A ;A A A;A A A

(6)吸收律：A (A B) A;A (A B) A

例题：

例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B={2}

A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∩B=空集合.

例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A∪B={1.2.3.4.6}

A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∪B={1.2.3.4.5.6}

§2 映射

定义：设 是集合A到B的一个对应法则：对于任何一个A1 A2 An的元

(a1 a2 an)(ai Ai)，都能够得到一个唯一的D的元d，那么这个法则 叫做集合A1 A2 An到集合D的一个映射。

其中，元d是(a1 a2 an)在映射 的象，a是b在 下的逆象。

例1：A1=A2=....=An=D=所有实数作成的集合.

φ：（a1,a2, ,an）→ a12+a22+ +an2=φ(a1,a2, ,an)是一个

A1×A2× ×AN 到D的映射.

例2 ：A1={东,西},A2={南}，D={高,低}

φ1：（西,南）→高=φ1（西,南）不是一个A1×A2到D的映射.

φ2:(西,南）→高，（东,南）→低，则φ2是一个A1×A2到D的映射.

例3：A1=D=所有实数所成的集合.

φ：a→a 若a ≠1

1→b 这里b2=1

不是一个A1到D的映射.

例4：A1=D=所有实数所成的集合.

φ：a→a-1不是一个A1到D的映射.

定义：我们说，A1 A2 An到集合D的两个映射φ1与φ2是相同的，假如对任

何一个元(a1 a2 an)来说，φ1(a1 a2 an)=φ2(a1 a2 an)。

例5：A=D=所有正整数的集合.

φ1：a→1=φ1（a）

φ2: a→a0=φ2（a） 则φ1与φ2是相同的.

§3 代数运算

设给定A1 A2 Am到D的映射f:A1 A2 Am D，

如果n=2时，f就叫做代数运算。一般地有

定义：任一个A B到D的映射都叫做A B到D的一个代数运算。

例1：A={所有整数}，B={所有不等于零的整数}。D={所有有理数}

a 0：（a.b） =a b 是一个A×B到D的代数运算，即普通的除法. b

例2：令V是数域F上一个向量空间，那么F的数与V的向量空间的乘法是一个

F×V到V的 …… 此处隐藏：8774字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……