2017_2018学年高中数学第二章推理与证明阶段质量检测A卷(含解析)新人教A版选修

时间：2025-04-21

1 第二章推理与证明

(A 卷学业水平达标)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4

＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )

n n －4＋8－n －n －4＝2 B.

n ＋1n ＋－4＋n ＋＋5n ＋－4＝2 C.

n n －4＋n ＋4n ＋－4＝2 D.n ＋1

n ＋－4＋n ＋5n ＋－4

＝2 解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.

2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )

①y ＝cos x (x ∈R)是三角函数；

②三角函数是周期函数；

③y ＝cos x (x ∈R)是周期函数．

A ．①②③

B ．②①③

C ．②③①

D ．③②①

解析：选B 按“三段论”的模式，排列顺序正确的是②①③.

3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )

A ．各正三角形内一点

B ．各正三角形的某高线上的点

C ．各正三角形的中心

D ．各正三角形外的某点

解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．

4．(山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个

2 实根”时，要做的假设是( )

A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根

B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根

C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根

D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根

解析：选A 因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．

5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( )

①a·b ＝b·a ；②(a·b )·c ＝a·(b·c )；③a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ；④由a·b ＝a·c (a≠0)，可得b ＝c .

则正确的结论有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解析：选B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b ＝a·c (a≠0)得a·(b －c)＝0，从而b －c ＝0或a⊥(b －c)，故④错误．

6．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *

)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需增乘的代数式是( )

A ．2k ＋1

B ．2(2k ＋1)

C.2k ＋1k ＋1

D.2k ＋3k ＋1 解析：选B 增乘的代数式为

k ＋1＋k k ＋1＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)． 7．已知a ，b ∈R ，m ＝6a 36a ＋1＋1，n ＝13b 2－b ＋56

，则下列结论正确的是( ) A ．m ≤n B ．m ≥n

C ．m >n

D ．m <n

解析：选A m ＝6a 36a ＋1＋1＝6

62a ＋2＋1＝1626a ＋6－a ≤1262＝112，n ＝13b 2－b ＋56＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋112≥112

，所以n

≥m ，故选A. 8．用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：

按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )

3 A ．6n －2 B ．8n －2

C ．6n ＋2

D ．8n ＋2

解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.

9．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )

A ．28

B ．76

C ．123

D ．199

解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.

10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n

，则a 2 017等于( ) A.12

B.－1 C ．2 D ．3

解析：选A ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n

， ∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2

＝2， a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4

＝－1， a 6＝1－1a 5

＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)， ∴a 2 017＝a 1＋3×672＝a 1＝12

. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．设函数f (x )＝12x ＋2

，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．

解析：∵f (x )＝1