三年级奥数教程第7讲等差数列

三年级奥数教程第7讲等差数列（一）

数列的第一项叫首项，最后～项叫末项．如果一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差是一个固定数，这样的数列叫做等差数列，这个差叫做这个数列的公差．本讲主要讲如何求等差数列的和．

例1、 求和：

1+2 +3 + 4+5+6 +7+8＝？

分析本题只有8个数相加，可以逐步地求出结果，但我们现在不用这种方法．

仔细观察一下就会知道，数列1，2，3，…，8，是一个首项是1、公差也是1的等差数列，而且

1 + 8＝9，

2 + 7＝9．

3 + 6＝9．

4 + 5＝9．

把1到8采用上述方式两两配对相加，共配成4对，每一对的和都是9，从而可以得到要求的结果．-

解 1+2 +3 + 4+5+6 +7+8＝

＝9×4＝36．-

随堂练习1 用上面的方法求出

1+2 +3 + 4 +…+35+36．

例2、 计算：

1+2+3+…+98+99 + 100．

分析我们仍可模仿例l的方法来求和．

1+100＝101，

2+99＝101，

3+98＝101，

………………

50+51＝101．

把1到100用上述方法两两配对，共可以配成50对．

解 1+2+…+99+100

＝101×50＝5 050．

上面两例中所用的方法，就是高斯小时候的做法．两例中所出现的两列数，都是等差数列．对于等差数列的和，我们都可以用这样的配对方法来求．

随堂练习2 计算：

2+4+6+8+…+200

例3、 求和

(1)8+9+10+11+12+13；

(2)2+5+8+11+14+17+20．

分析与解 (1)原式＝(8+13)+(9+12)+(10+11)

＝21×3＝63．

(2)如果仍用上面的方法配对，那么就会剩下11没有数与它相配．但我们可以将上面的做法稍稍修改一下，将每个数都重写一遍，这样就可以配成7对，即2与20，5与17，8与

14，11与11，14与8，17与5，20与2，每对的和都是22．

从而

原式＝22×7÷2＝77．

随堂练习3 求和：

(1)4+6+8+10+12+14+16；

(2)2+3+4+5+6+7+8．

例3仍用配对的方法来求等差数列的和，只不过将例2的方法稍作了改进．实际上，用这种方法可以得到，对任何等差数列，我们有

等差数列的和＝(首项+末项)×项数÷2

例4、 求出下面各数列的和：

(1)9，13，17，21，25，29；

(2)1，3，5，7，…，95，97，99．

分析与解 (1)这是首项为9、末项为29、项数为6的等差数列，所以这个等差数列的和为

(9+29)×6÷2＝114．

(2)这是首项是1、末项是99、公差是2的等差数列．如果能知道项数是多少，那么就很容易求出和来．下面我们设法求项数．

这个数列的第2项比第1项多2，第3项比第1项多2×2＝4，第4项比第l项多3×2＝6，……从而我们可以

得到

末项＝首项+(项数一1)×公差．

由上式可以得到

项数＝(末项一首项)÷公差+1．

所以这个等差数列的项数为

(99—1)÷2+1＝98÷2+1＝50，

从而等差数列的和为