北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》正、余弦定理的综合运用(一)

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北师大版高中数学必修5第 二章《解三角形》

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知识目标：1、三角形形状的判断依据； 2、 利用正弦、余弦定理进行边角互换。 能力目标：1、 进一步熟悉正、余弦定理； 2、 边角互化；3、判断三角形的形状； 4、证明三角形中的三角恒等式。

教学重点：利用正弦、余弦定理进行边角互 换。 教学难点：1、利用正弦、余弦定理进行 边 角互换时的转化方向；2、三角恒等式证 明中结论与条件之间的内在联系。2

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一.复习回顾：

a b c 2R 1、正弦定理： sin A sin B sin C(其中：R为△ABC的外接圆半径) 2、三角形面积公式：

S ABC

1 1 1 bc sin A ca sin B ab sin C 2 2 2

3、正弦定理的变形：

a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin Csin A : sin B : sin C a : b : ca b c sin A , sin B , sin C 2R 2R 2R3

a

余弦定理：

a b c 2bc cos A2 2 2 2 2 2

b a c 2ac cos B2

变形

c a b 2ab cos C2 2

在 ABC 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时， 经常用到，要记熟并灵活地加以运用：

b c a cos A 2bc 2 2 2 c a b cos B 2ca 2 2 2 a b c cos C 2ab2 2 2

A B C ; sin( A B ) sin C , cos( A B ) cos CA B C A B C sin cos , cos sin 2 2 2 2

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二、例题分析问题1:

在 ABC中， 1. 已知b 8,c 3,A 60 , 求a; 2. 已知a 20, b 29, c 21, 求B; 3. 已知a 3 3 , c 2, B 150 , 求b. 4. 已知 ABC的面积为 3,且a 2 3 , b 2, 求C练习题答案: 1. 7; 150° 2. 90°; 3. 7; 4.30°或5

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问题2: 在 ABC中，已知2b=a+c,证明：A c b

2sinB=sinA+sinC引：能找到三角形各边与对角正弦的关系吗？ 导：如何利用正弦定理证明以上关系？

B

a

C

a b c 2R 证明：由 sin A sin B sin C

得

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 将此式 代入 2b=a+c 得 2 2RsinB=2RsinA+2RsinC 即 2sinB=sinA+sinC6

a

在 ABC中，已知b2 =a c, 变式1:证明：sin2B=sinA sinC.证明：由A c

a b c 2R sin A sin B sin C

得

b

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 2 将此式 代入 b =a c 得2

B

a

C

(2RsinB)=(2RsinA)(2RsinC)

即 sin B=sinA sinC

2

a

变式2: 在 ABC中，已知

sin 2 B sin 2 C sin A( 2 sin B sin A)求角C.

a

问题3: 在三角形中,已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角A.A c

解：条件整理变形得b

b c a bc2 2 2

B

a

C

即

动手实践：在 ABC中，已 知 2 2 2

1 cos A 2

b2 c2 a 2 2 bc

1 2A=120 0

a b c 2ac

,求角B.9

a

变式1:在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的 对边，试证明：a=bcosC+ccosB2 2 2 a 2 b2 c2 c a b 证明：由余弦定理知： C , B cos cos 2ab 2ca

a b c c a b

右边= b c 2ab 2ca2 2 2 2 2

2

a b c c a b 2a 2a 22 2 2 2 2

2

Ab D a

c

2a a 左边 2a

B

C10

a

变式2:根据所给的条件，判 断 ABC的形状。

()a cos B b cos A 1

()a cos A b cos B 2

解：1 a cos B b cos A 2 () a 2 c 2 b2 b c2 a2 a ( ) b ( ) 2ac 2bc2 2 2 2 2 22

a c b b c a 2a 2b a b ABC 为等腰三角形。法二：由 a cos B b cos A得

2

2 R sin A cos B 2 R sin B cos A sin A cos B sin B cos A 0 即sin A B) 0 (

A B

a

()a cos A b cos B 2 解： 2 a cos A b cos B ()

b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b2 a ( ) b ( ) 2bc 2ac

a 2c 2 a 4 b2c 2 b4 0 2 2 2 2 2 (a b )( c a b ) 02 2 2 2 2

a b 或c a b 0 a b或c a b ABC为等腰三角形或直角三 角形。2 2

2

法二：由a cos A b cos B得2 R sin A cos A 2 R sin B cos B sin 2 A sin 2B 2 A 2 B或2 A 2 B

即 A B或 A B

2

a

三、已知三角形形状， 讨论边的取值范围。

a b c 1、 ABC的三边为a, b, c, b c a c a b 2 、当△ABC直角三角形时 (c>a>b)

c a b2 2

2

a

当△ABC为钝角三角形时(c>b>a)

a b c 02 2 2

当△ABC为锐角三角形时(c>b>a)

a b c 02 2 2

a 2 b 2 c 2 0 2 b c 2 a 2 0 当△ABC为锐角三角形时 c 2 a 2 b 2 0 14

a

思考题：a ,a+1,a+2 构成钝角三角形， 求a 的取值范围。

教学反思：