研究生流体力学习题

流体力学习题

10.1证明在静止的封闭容器中，均质不可压缩流体紊流脉动动能随时间的变化率为

ui ui uiD

kd uud d ij Dt xj xj xj

式中ui是平均速度，ui 是脉动速度，k uiui/2，质量力忽略不计。

Dk

证明：引用紊动能方程 d xDtk

上式右侧第2项

1p

uk uiui d （a）

2

2k

2 xk xk

xk 1

uu ii 2 xk ui

ui

xk

代入式（a），并作积分

Dk

d xDtk

1p

uuu d k ii xk2

ui ui u

id uiuk

xk xk xk

ui

ui d

xk （b）

应用高斯积分定理于（b）式右侧第1和第2项，得

xk xk

1p uk uiui d

2 ui

ui d xk

ui nui dA Ak

xk

1p uk uiui dA Ank 2

由于在固壁上脉动速度等于零，上两式均等于零，于是式（b）可化简为

ui ui uiDk

Dtd xk xkd uiuk xkd （c）

证毕。

10.4 展开紊动能耗散率 v

ui ui

，写出其在直角坐标系中的表达式。

xj xj

解：分别令i 1,2,3,j 1,2,3，则有

2 2 2 2 2 2 2 2 2

u u u u u u u u u

v 1 1 1 2 2 2 3 3 3

x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3

即

2222222 u 2 u 2

u v v v w w w

v

x y z x y z x y z

流体力学习题

10.8 设光滑圆管中的定常紊流流动的平均速度分布为u umax a R /a 半径，umax是管轴线上的速度，求混合长度。 解：在圆管内切应力呈线性分布，可表示为

1/7

，a为圆管

wR/a

应用混合长度假设，有

2

2

2

wR2 u R2 u2R2 u w l l u* l （a）

a y aa y y

由题给速度分布

uumax1 a R ya7 a

6/7

2

u*2R 7a a R 2

l

a umax a

将上式代入（a）得

6/71/2

u a R R l 7a*

umax a a

解毕。

10.9 普朗特混合长理论有两种推广形式：l

2

12/7

2ss

ijij

1/2

和l

2

2aa

ij

ij

1/2

，其中

1 ui uj 1 ui uj sij ,aij ，它们分别表示应变率张量和平均旋转率张量。

2 x x2 x xi i j j

试证明在二维平面边界层流动中，这两种推广形式都蜕变为普朗特混合长度公式。 证明：（1）在二维平面层流层流动中，u u(x,y),v v(x,y),w 0，平均应变率张量sij分量中只有s11,s22,s12和s21不为零，

u v1 u v

s11 ;s22 ;s12 s21

x y2 x y

现在来估计以上各式中速度导数的量级

u yU u, xUU L L

式中，U是边界层外势流速度，δ是边界层厚度，L是沿主流方向的长度。由连续性方程，

v/ y与 u/ x同量级，因此

v yU

L

流体力学习题

v另外

y

v

U

vL

U

v L xU

LL

U L

2

由以上结果可知，其余速度倒数中的最大者与 u/ y的比值为 /L，因此

s12 s21

于是

1 u

,s11 0,s22 0, 2 y

1 u 21 u 2 u 2

22

2sijsij 2 s s1221 2 4 y 4 y y

vt l

2

2ss

ijij

1/2

l2

u y

（2）平均旋转率张量aij分量中只有a12和a21不为零，

a12 a21

1 u

2 y

212

221

1 u 21 u 2 u 2

2 2aijaij 2 a a 4 y4 y y

于是vt l

2

2aijaij

1/2

l2

u

y

流体力学习题

例题：水深h=10m，自由面上有一沿x轴正向传播的平面小振幅波，波长L=30m， 求：1）波幅a=0.1m时的自由面形状； 2）波的传播速度；

3）波幅a=0.1m衡位置在水平面以下0.5m处流体质点的运动轨迹； 4）水平面以下1m，2m处流体的平均压力； 5）波系的群速度。

解：1）由式 acos kx t ，波数k 圆频率由式（8-20

）为

2 2 0.209 L30

1.381

波面方程为 0.1 cos 0.209x 1.381t

2）波的传播速度（相速度）c

k

1.381

6.608 0.209

2

x x0 3）由式（8-20）流体质点的轨迹方程

2

z z0

2

2

1

其中

coshk z0 h

sinhkh

sinh z0 h

sinhkh

2

2

取z0 0.5m,a 0.1m,h 10m,k 0.209,得： 0.00869, 0.00806 4）由式（8-25）式计算压力

在一个周期内，η的均值为零，故有：p z 压力与静压分布相同 故水下1m和2m处流体的压力分别为p1m ,p2m 2 5）由式（8-44）可得：

1 2kh cg c 1 3.272

2 sinh2kh

例7.4 波长为6.28m，在某一深度次波面的波高减小一半，试求这一深度。 解：流体质点的轨圆半径为r aekz， 在波面上z0 0,r0 a， 在任意水深，r ae

由题意r0 2a，则r ae,a 2ae

kz

所以e 1/2，K 2 /L 6.28/6.28 1 kzz

e e 1/2，所以z ln 1/2 0.693m

kz

kzkz

流体力学习题

例7.6 设无限深水中波浪的波长为15m和150m 求：1）这两种波长的波速和周期。

2）当波浪传播入水深为10m的水域时，讨论波浪运动的变化。 解：L=15m

1）对于深水：

c

4.8369sT 3.1011s

2）当h=