材料力学第七章习题选及其解答

材料力学

7-2. 在图示各单元体中，试用解析法和应力圆求斜面ab上的应力。应力单位为

MPa。

a)

b)

c) 解：（a）

（1）应力分量

σ

x

70MPa σ

y

70MPa τ

xy

0 α 30o

（2）用解析法求斜截面上的应力

σσ

x

σy

y

α

2

σ

x

σ2

cos2α τ

xy

sin2α

70 70

70 7022

cos60 35MPa

τ

σ

x

σ

y

α

2

sin2α τxy

cos2α

70 702

sin60 60.6MPa

（3）应力圆 σ

（b）

（1）应力分量

σ

x

70MPa σ

y

70MPa τ

xy

0 α 30o

（2）用解析法求斜截面上的应力

d)

材料力学

σα

τ

σ

x

σ2

y

σ

x

σ2

y

cos2α τ

x

sin2α

70 702σ

x

70MPasin2α τ

cos2α 0

σ2

y

αx

（3）应力圆：为一点圆

（c）

（1）应力分量

σ

x

σ

100MPa σ

y

50MPa τ

xy

0 α 60

o

（2）用解析法求斜截面上的应力

σα

τ

σ

x

σ2

y

σ

x

σ22

y

cos2α τ

x

sin2α

100 50

2σ

x

100 50

cos120 62.5MPa

σ2

y

α

sin2α τ

x

cos2α

100 50

2

sin120 21.7MPa

（3）应力圆

σ

材料力学

（d）

（1）应力分量

σ

x

50MPa σ

y

100MPa τ

xy

o

0 α 150

（2）用解析法求斜截面上的应力

σα

τ

σ

x

σ22

y

σ

x

σ2

y

cos2α τ

x

sin2α

50 100σ

σ22

50 100

2

x

cos300 12.5MPa

xy

α

sin2α τcos2α

50 100

sin300 65MPa

（3）应力圆

σ

7-3. 已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa。试用解析法和应力圆求：

（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。

20

解：（e）

（1）应力分量

σ

x

e)

f)

0 σ

y

80MPa τ

xy

20MPa

（2）求主平面位置和主应力大小

材料力学

tg2α α

σ σ

max

2τσ

xo

xy

σ

0.5

y

o

13.3 α

y

90 76.7

y

o

σ

x

σ2

802

(

σ

x

σ2

) τ

22x

min

802

() 20

2

22

4.7MPa

84.7MPa

3

σ1 4.7MPa σ

0 σ 84.7MPa

（3）主平面位置及主应力方向

（4）最大剪应力

τ

max

1

σ1 σ

2

3

4.7 84.7

2

44.7MPa

（5）应力圆

（f）

（1）应力分量

σ

x

σ

20MPa σ

y

30MPa τ

xy

20MPa

（2）求主平面位置和主应力大小

tg2α α

2τσ

ox

xy

σ

0.8

y

o

19.3 α

90 109.3

o

材料力学

σ σ

max

σ

x

σ2

y

(

σ

x

σ2

y

) τ

22x

min

20 30

2

(

20 30

2

2

) 20

3

22

37MPa

27MPa

σ1 37MPa σ

0 σ 27MPa

（3）主平面位置及主应力方向

（4）最大剪应力

τ

max

σ1 σ

2

3

37 27

2

32MPa

（5）应力圆

σ

7-10. 薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如图所示。若P=20kN，T=600NN·m，且

d=50mm， =2mm。试求：（1）A点在指定斜截面上的应力。（2）A点主应力的大小及方向，并用单元体表示。

解：（1）A点的应力状态

σx

材料力学

属二向应力状态，应力分量是

σστ

x

PA

20000π 50 2 10T

6

63.7 10Pa 63.7MPa

6

y

0

2

xy

2πrt

600

2π 26 2 10

2

9

70.6 10Pa 70.6MPa

6

（2）斜截面的应力：

α 120σα

τ

σ

x

o

σ2

y

σ

x

σ2

y

cos2α τ

xy

sin2α

63.72σ

x

63.72

y

cos240 70.6sin240 45.2MPa

cos2α

σ2

α

sin2α τ

xy

63.72

sin240 70.6cos240 7.7MPa

（3）主方向

tg2αα

2τσ

xo

xy

σ

y

2 ( 70.6)

63.7

o

o

2.22

32.9 α

90 122.9

（4）主应力

σ σ

max

σ

x

σ2

y

(

σ

x

σ2

y

) τ

22xy

min

63.72

(

63.7

109.3MPa22

) ( 70.6) 2 45.6MPa

2

σ1 109.3MPa σ

0 σ

3

45.6MPa

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