武汉大学计算方法历年期末考试试题大全(含完整版答案)及重点内容集锦

武汉大学计算方法历年期末考试试题大全(含完整版答案)及重点内容集锦,含08-11年期末考试试题,还有重点内容。动力与机械学院及其他学院都适用(⊙o⊙)…

武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷

《计算方法》 （A卷） （36学时用）

学院： 学号： 姓名： 得分：

一、（10分）已知y f(x)的三个值

（1） 求二次拉格朗日插值 L2(x)； （2）写出余项R2(x)。 二、（10分）给定求积公式

1

1

f(x)dx f(

13

) f(

13

)

求出其代数精度，并问是否是Gauss型公式。

2a

三、（10分）若矩阵A 0

0

aa0

0

0 ，说明对任意实数a 0，方程组AX b都a

是非病态的（范数用 ）。

四、（12分）已知方程ex 10x 4 0在[0,0.4]内有唯一根。

迭代格式A：xn 1 ln(4 10xn)；迭代格式B：xn 1 试分析这两个迭代格式的收敛性。 五、（12分）设方程组

a11 a 21

a12 x1

a22 x2

b1

b ，其中a11a22 0， 2

110(4 e

xn

)

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分别写出Jacob及Gauss-Seidel迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。

六、（12分）已知y f(x)的一组值

2.21.0

分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算

f(x)dx

七、（12分）2009年5月左右，北美爆发甲型H1N1流感，美国疾病控制和预防中心发布的美国感染者人数见下表。为使计算简单，分别用x=-1，0，1，2代表2009年5月2，3，4，5日。

根据上面数据，求一条形如y ax2 bx的最小二乘拟合曲线。 八、（12分）用改进欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程：

y x y2

x [0,

y(0) 1

（取步长h 0.5） 1]。

九、（10分）对于给定的常数c，为进行开方运算，需要求方程x2 c 0的根。（1）写出解此方程的牛顿迭代格式；

（2）证明对任意初值x0 c, 牛顿迭代序列{xn}单调减且收敛于c.

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武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷

1、解：（1）二次拉格朗日插值为

L2(x) 0.2

(x 1)(x 2) ( 1.8)

(x 0)(x 2) 1.8

(x 0)(x 1) 5x

2

11x 2

(0 1)(0 2)

(1 0)(1 2)

(2 0)(2 1)

（2）余项为Rf'''

( )2(x)

3!

x(x 1)(x 2)

2、解：当f(x) 1时，左边=2,右边=2； 当f(x) x时，左边=0,右边=0； 当f(x) x2时，左边=

223

,右边=

3

；

当f(x) x3时，左边=0,右边=0； 当f(x) x4时，左边=

25

,右边=

29

,左边 右边；

于是，其代数精度为3，是高斯型求积公式。 1/2a

1/2a0 3、解：A 1

01/a0 ||A1|| 1/|a|

00

1/a

而||A|| 3|a|，于是cond(A) 1 ||A|| ||A|| 3， 所以题干中结论成立。

4、解：（1）对于迭代格式A：xn 1 ln(4 10xn)，

其迭代函数为 (x) ln(4 10x) 104 10x

52 5x

，在[0,

| (x)|

52 5x

1，

所以发散。

（2）对于迭代格式B：x1n 1 10

(4 e

xn

)

，

其迭代函数为 (x) lx

10

e

，在[0,0.4]内

| (x)|

1ex

10

1，

所以收敛。

22

0.4]内

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5、解：（1）Jocobi迭代法：

x1(k 1) 1/a11 (k 1)

0 x2 0

a21/a22

0 1/a22 a21

a12 x1(k) 1/a11

0 x2(k) 0

b1 1/a22 b2 0

a12/a11 x1(k) b1/a11

(k)

0b/a x2 222 a12/a11

=

2

因为

a21/a22

a21a12a11a22

0 J

（2）Gauss-Seidel迭代法：

1/a11 x1(k 1)

(k 1)

x a21/a11a22 2 0

0

a12/a11a21a12/a11a22

a12/a11

01/a22

0 0

1/a11a12 x1(k)

0 x2(k) a21/a11a22

G |

a21a12a11a22

| 01/a22

b1 b2

(k)

b1/a11 x1

(k)

x2 b1a21/a11a22 b2/a22

因为

a21a12/a11a22

= (

a21a12a11a22

) 0

a21a12a11a22

综上分析可知两种迭代法同时收敛同时发散。 6、解：（1）复化梯形公式（h 0.2）

2.21.0

f(x)dx

h2

[y0 2 (y1 y2 y3 y4 y5) y6]

0.22

[ 1 2 ( 2 0 2 3 4) 1] 1.4

（2）复化辛普森公式（h 0.4）

2.21.0

f(x)dx

h66

[y0 2 (y2 y4) 4 (y1 y3 y5) y6]

0.4

[ 1 2 (0 3) 4 ( 2 2 4) 1] 1.26667

7、解：依题意，可知

1

0 1 4

1 160 0 a 226

1 b 279 2 430

1 160

0 a 1014 226

1 b 1012 279 2 430

1

1014 0 1012 1

4

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