连续介质力学作业(第一章)习题

连续介质力学

连续介质力学作业（第一章）习题

1. 向量a xi yj zk。i，j，k表示三维空间中标准正交基。给定一组协变基

~

~

~

~

~

~

~

g1 2i，g2 i j，g3 j k。

~

~

~

~

~

~

~

~

（1）求逆变基g1，g2，g3。 （2）求gij

（3）向量a参考逆变基g1，g2，g3表示时，a aigi，求ai。

~

~

~

~

~

~

2. 已知笛卡尔坐标系e1,e3,e3，一个新的坐标系定义为

e 1 e 2 e3

131313

261616

e1 e

2 e3

2

2

01212

向量x x1e1 x2e2 x3e3，给定函数f(x) x1 x3。 （1） 求函数f的梯度grad（f）

（2） 求向量x参考新坐标系的表示形式x xi ei （3） 求函数f在新的坐标系下的表达形式f (x1 ,x2 ,x3 ) （4） 判断grad（f）的客观性。

3. 二维情况下，一质点应力张量σ主值 1 1.6， 2 2.3。主方向N1

12

32

σ

σ

32

e1

12

e2，

N2 e1 e2。应变张量ε主值 1 1， 2 2，主方向与应力张量相同。e1,

e2为

平面直角坐标系的单位基矢量。

a) 以N1，N2为基，计算该质点处应变能密度W b) 求σij，使得σ σijei ej c) 求 ij，使得ε εijei ej