专题八 第一讲

高中数学解题方法与技巧三

◆高考二轮专题复习与测试 数学(文科)◆

第一部分 知识复习专题

专题八 思想方法专题

第一讲 函数与方程思想

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函数思想 一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与 性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最 大值和最小值、图象变换等.在解题中，善于挖掘题目的隐含 条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想 的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题.

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◆高考二轮专题复习与测试 数学(文科)◆方程思想 1.方程的思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设 成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件， 列出方程(组),通过解方程或对方程进行研究，使问题得到解 决. 2.方程的思想与函数的思想密切相关：方程f(x)=0的解 就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y=f(x)也可

以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究，方程f(x)=a有 解，当且仅当a属于函数f(x)的值域.函数与方程的这种相互转 化关系十分重要.

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◆高考二轮专题复习与测试 数学(文科)◆函数与方程的思想在解题中的应用 函数与方程思想解决的相关问题. 1.函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： (1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等 式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； (2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，

把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.

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◆高考二轮专题复习与测试 数学(文科)◆2.方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： (1)解方程或解不等式； (2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方 程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知

识应用；(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等； (4)构造方程或不等式求解问题.

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1.方程m+ 1-x =x有解，则m的最大值为( A ) A.1 C.-1 B.0 D.-2

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◆高考二轮专题复习与测试 数学(文科)◆2.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角 形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(3 3 A. cm2 2 C.3 2 cm2 B.4 cm2 D.2 3 cm2

)

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解析：设截成两段分别为 x,y,则 x+y=12, x y 即 y=12-x(0<x<12), 两个正三角形的边长分别为 ，, 3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 x 2 y 2 ∴S= 3 + 3 = (x +y )= [x + 12-x ] 4 4 36 36

3 = [(x-6)2+36]

. 18 ∴当 x=6 时，Smin=2 3. 答案：D

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1-ax 1 x ∈ R ,且 x ≠- 3.设a为非零实数，函数y= 的 a 1+ax 反函数是( ) 1-ax 1 x ∈ R ,且 x ≠- A.y= a 1+ax 1+ax 1 x ∈ R ,且 x ≠- B.y= a 1-ax 1+x C.y= (x∈R,且x≠1) a 1-x 1-x D.y= (x∈R,且x≠-1) a 1+x

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1-ax 1 x ∈ R ,且 x ≠ - 解析：由原函数 y= ,解得 a 1+ax 1- y x= (y∈R,且 y≠-1), a 1+y 1- x 即原函数的反函数是 y= (x∈R,且 x≠-1),故 a 1+x 选择 D. 答案：D

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突破点1

运用函数与方程思想解决字母(或式子)的 求值或取值范围问题

已知a,b,c∈R,a+b+c=0,a+bc-1=0,

求a的取值范围.思路点拨：本题可以根据题设条件将b,c的和与积用a表 示，构造一元二次方程，然后利用一元二次方程有解，其判别 式Δ≥0,再构建a的不等式求解.或根据题设条件将a表示成c的 函数转化为求函数的值域问题求解.

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解析：解法一(方程思想):因为b+c=-a,bc=1-a. 所以b,c是方程x2+ax+1-a=0的两根. 所以Δ=a2-4(1-a)≥0,即Δ=a2+4a-4≥0. 解得{a|a≥-2+2 2或a≤-2-2 2}. a+b+c=0, 解法二(函数思想):由已知 a+bc-1=0,

得b+c-bc+1=0, 如果c=1,则b+1-b+1=0,即2=0, c+1 1+ c 不成立，因此c≠1,所以b= ,a= -c. c-1 1- c

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◆高考二轮专题复习与测试 数学(文科)◆1+ c c2+1 -c2+2c+1 令f(c)= -c= ,所以f′(c)= . 2 1- c 1- c 1-c 令f′(c)=0,则c=1± 2. 当c<1- 2时，f′(c)<0, 函数f(c)在区间(-∞,1- 2)上是减函数； 当1- 2<c<1时，f′(c)>0, 函数f(c)在区间(1- 2,1)上是增函数； 当1<c<1+ 2时，f′(c)>0, 函数f(c)在区间(1,1+ 2)上是增函数， 当c>1+ 2 ,f′(c)<0,函数f(c)在区间(1+ 2 ,+∞) 上是减函数.

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c2+1 函数f(c)= 的图象如图所示. 1- c 所以f(c)≥f(1- 2)=-2+2 2或f(c) ≤f(1+ 2)=-2-2 2. 所以a的范围是{a|a≥-2+2 2或a≤-2-2 2}.

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