复变函数与积分变换3.3Cauchy 积分公式

复变函数与积分变换

§ 3.3 Cauchy 积分公式定理(Cauchy积分公式): 设f(z)在以简单 正向闭曲线C所围成的区域B内解析，在C 上连续，则对B内任意一点z0,有f ( z0 )

2 i

1

f (z) z z0

dz .

C

复变函数与积分变换

由复合闭路定理得：

f (z) z z0

dz

C

f (z) z z0

|z z0 |

dz

f ( z0 ) f ( z) f ( z0 ) z z0 f ( z0 ) z z0 dz

|z z0 |

dz

|z z0 |

f ( z) f ( z0 ) z z0

|z z 0 |

dz

2 if ( z 0 )

f ( z0 ) f ( z) f ( z0 ) z z0

|z z0 |

dz .

复变函数与积分变换

由于f(z)在z0处解析(更连续),所以可令M 为|f(z)-f(z0)|在圆周|z-z0|=ε上的最大值，则 M→0(ε→0).又

f ( z) f ( z0 ) z z0 M

|z z0 |

dz

| f ( z ) f ( z0 ) | | z z0 |

|z z0 |

| dz |

M

ds

|z z0 |

2 2 M 0 (当 0 ).

所以

f ( z0 )

2 i

1

f (z) z z0

dz .

C

复变函数与积分变换

解析函数的中值定理：(令 z z 0 Re f ( z0 ) 1 2 i

,由 Cauchy 积分公式)i

2

0

f ( z 0 Re

)d .

复变函数与积分变换

例1. 计算下列积分。 (1)

cos z z i

dz , 其中 C : | z i | 1, 取正向；

C

(2)

z2

2

C

( 5 z )( z i )

dz , 其中 C :| z | 2,取正向。

复变函数与积分变换

例2.计算积分z

e2

C

( z 1)

dz , 其中 C :| z | 2,取正向。