《点集拓扑讲义》第八章 紧致性

重点: 紧致空间的定义和性质难点: 紧致空间的性质

第八章 紧 致 性 §8.1

紧致空间 §8.2 紧致性与分离公理 §8.3 实直线中的紧致子集 §8.4 几种紧致性及其间的关系 §8.5 局部紧致空间

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§8.1 紧 致 空 间重点: 难点: 紧致空间的定义和性质 紧致空间的性质

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在第六章第三节我们给出了 Lindelo ff 空间的定义， 如 果说 Lindelo ff 空间的提出更多的是从拓扑空间的需要考 虑，则紧致空间的提出就显得更为自然一些，而 Lindelo ff 空间则可看作是对空间紧致性的一种推广.紧致性质是 指空间的任意开覆盖都有有限子覆盖， 这一性质读者在 数学分析中对定义在闭区间 [a, b] 上连续函数性质的讨 论中已经接触过，它在证明最值定理，一致收敛性质中 起着关键的作用， 因此将它作为一个条件附加于拓扑空 间应当是意料之中的事情.

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定义 8.1.1 设 X 是一个拓扑空间,如果 X 的任 意一个开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间 X 是 一个紧致空间.例 8.1.1 实数空间 R 不是紧致空间,这是因为由 开区间构成的集族: A ={(n,n+2)|n Z} 是 R 的一个开覆盖，但这个开覆盖没有有限子覆盖.

由此可以看到， 紧致性质是非常强的一个拓扑 性质，它使得我们熟悉的实数空间 R 也不属于这 一拓扑空间类.

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定义 8.1.2 设 X 是一个拓扑空间,Y 是 X 的一 个子集,如果 Y 作为 X 的子空间是一个紧致空间, 则称 Y 是拓扑空间 X 的紧致子集.根据紧致子集的定义， 拓扑空间 X 的子空间 Y 是紧致子集当且仅当每一个由子空间 Y 中的开集 构成的 Y 的开覆盖有一个有限子覆盖，这在证明 子空间的紧致性时就会带来一些叙述上的繁复， 例 如例 8.1.2,因此下面的定理 8.1.1 是非常必要的.

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证明： 必要性.设 Y 是拓扑空间 X 的一个紧致子集， A 是 Y 的一个由 X 中的开集构成的开覆盖，显然 ~ A A |Y { A Y | Y A } 是 Y 的一个开覆盖，因此由 Y 的紧致性知存在 A~ 的一个有限子覆盖，设为 { A1 Y , A2 Y , , An Y } 于是， A 有有限子覆盖{ A1 , A2 , , An }覆盖 Y.

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充分性.设每一个由 X 中的开集构成的 Y 的覆盖 都有有限子覆盖.设 A 是 Y 的一个由 Y 中的开集构成 的开覆盖，由子空间拓扑的定义知对每个 A A,存 ~ 在 X 中的开集 UA 使得 A U A Y , 显然 A {U A | A A } 是 Y 的一个由 X 中的开集构成的开覆盖， 因此 A~ 有有限 子覆盖覆盖 Y,设为 {U A1 ,U A2 , ,U An } 此时易见{ A1 , A2 , , An }是 A 的子覆盖.因此 Y 是 X 的 一个紧致子集.

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定理 8.1.2 设 X 和 Y 是两个拓扑空间， X Y f: 是一个连续映射，如果 X 是一个紧致空间,则 f(X) 是 Y 的一个紧致子集,特别地,若 f 是一个满射,则 Y 也是一个紧致空间.证明：设 A 是 f(X)的一个由 Y 中的开

集构成 的任意覆盖，由于 f 是连续映射,因此对 A A , f 1 ( A) 是 X 中的开集,又 A A f (X ) .因此有 A A~ 因此集族 A { f 1 1A A

f

1

( A) f

1

( A) fA A

1

( f ( X )) X

1

( A) | A A } 是 X 的一个开覆盖.由n

于 X 是一个紧致空间，因此存在 A~ 的有限子族{ f ( A1 ), , f ( An )}使得 f 1 ( Ai ) X .i 1

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从 而 存 在 A 的 有 限 子 族 { A1 , A2 , , An ) 使 得i 1

Ai f ( f ( Ai ) f ( f ( Ai )) f ( X ) . 因 此i 1 i 1

n

1

n

n

1

{ A1 , , An ) 是 A 的有限子覆盖，从而由定理 8.1.2 知 f(X)是 Y 的一个紧致子集.由定理 8.1.4 可见，拓扑空间的紧致性质是一个 在连续映射下保持不变的性质，因而是一个拓扑性 质，也是一个可商性质.

由此可见， 由于实数空间不是紧致空间， 因此 与它同胚的任一开区间作为子空间都不是紧致空 间.

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定理 8.1.3 紧致空间的每一个闭子集都是紧 致子集.证明：设 Y 是紧致空间 X 的闭子集，再设 A 是 Y 的一个 由 X 中的开集构成 的开 覆盖，则 ~ A A {Y } 就是 X 的一个开覆盖.由 X 的紧致性知 ~ ~ A1 覆盖 X,从而存在 A 的有 存在 A 的有限子覆盖~ 限子覆盖 A1 {Y } 覆盖 Y,从而由定理 8.1.1 知闭子

集 Y 是 X 的一个紧致子集.

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定理 8.1.4(一点紧化定理)每一个拓扑空间必 定是某一紧致空间的开子空间.证明：设(X,T)是一个拓扑空间，令 是一个 不属于 X 的元素，令X X { }, T T T1 T1 {E X | X E 是拓扑空间(X,T )中的紧致闭 其中

集}第一步，验证 T *是 X *的一个拓扑. (1) 据定义 T T ,又由于 X X ,而 是 X X T1 T . 中的一个紧致闭集,因此

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(2) A , B T ,显然有 A B T T . (a) 若 (b) 如果 A , B T1 ,则 …… 此处隐藏：2214字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……